Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x = 1, da região limitada pela curva (x-1)^2 = 20 - 4y e pelas retas x=1, y=1 e y = 3 e à direita de x = 1.

Passo 1

Vamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar ao redor da reta a região limitada pela curva e pelas retas , e . Para isso, vamos usar o método dos aros cilíndricos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Podemos resolver essa equação para para facilitar:
Isso mostra que a curva é uma parábola que abre para baixo.

Passo 3

A região que queremos girar está limitada pelas retas e . Portanto, vamos considerar os valores de variando de 1 a 3.

Passo 4

Como vamos girar em torno da reta , que é uma linha vertical, usaremos o método dos aros cilíndricos. A fórmula para o volume é:
Aqui, é a distância do ponto mais externo até o eixo de rotação e é a distância do ponto mais interno até o eixo de rotação.

Passo 5

Na nossa região à direita de , a função que define a limite é . Como estamos girando em torno de , a distância é:
Como não há “buracos” internos na região considerada, . Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de a :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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