Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta
, da região limitada pela curva
e pelas retas
e
e à direita de
.
Passo 1
Vamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar ao redor da reta
a região limitada pela curva
e pelas retas
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos aros cilíndricos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Podemos resolver essa equação para
para facilitar:
Isso mostra que a curva é uma parábola que abre para baixo.
Passo 3
A região que queremos girar está limitada pelas retas
e
. Portanto, vamos considerar os valores de
variando de 1 a 3.
Passo 4
Como vamos girar em torno da reta
, que é uma linha vertical, usaremos o método dos aros cilíndricos. A fórmula para o volume é:
Aqui,
é a distância do ponto mais externo até o eixo de rotação e
é a distância do ponto mais interno até o eixo de rotação.
Passo 5
Na nossa região à direita de
, a função que define a limite é
. Como estamos girando em torno de
, a distância
é:
Como não há “buracos” internos na região considerada,
. Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.