Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
i) e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no plano em torno do eixo . A região é definida por duas condições:
  1. – ou seja, todos os pontos acima da parábola .
  2. – que representa um círculo de raio centrado na origem.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação. Precisaremos configurar uma integral que represente a soma desses discos ao longo do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A parábola abre para cima, e o círculo tem raio . Queremos a parte da parábola que está dentro do círculo.
Para encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o círculo, substituímos na equação do círculo:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . A equação fica:
Isso é uma equação quadrática em . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos . Assim, , ou seja, .

Passo 4

Agora sabemos que os limites de integração para são de a . Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a função de cima e a de baixo. No nosso caso, a função de cima é o círculo resolvido para :
E a função de baixo é a parábola:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola e pela reta .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta , da região limitada pela curva e pelas retas e e à direita de .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
a) e
e) e
b) e .
f) e .
c) e
g) .
d) e
h) e .
Encontre e .