Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
i) e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região no plano em torno do eixo . A região é definida por duas condições:
– ou seja, todos os pontos acima da parábola .
– que representa um círculo de raio centrado na origem.
Para resolver isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação. Precisaremos configurar uma integral que represente a soma desses discos ao longo do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A parábola abre para cima, e o círculo tem raio . Queremos a parte da parábola que está dentro do círculo.
Para encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o círculo, substituímos na equação do círculo:
Vamos resolver essa equação para .
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . A equação fica:
Isso é uma equação quadrática em . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos . Assim, , ou seja, .
Passo 4
Agora sabemos que os limites de integração para são de a . Vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a função de cima e a de baixo. No nosso caso, a função de cima é o círculo resolvido para :
E a função de baixo é a parábola:
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.