Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pela parábola
e pela reta
em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar quais curvas estão acima e quais estão abaixo no intervalo entre
e
. Observando as funções:
Para
:
Então, a reta
está acima da parábola
.
Passo 5
Usaremos o método dos anéis para calcular o volume. A fórmula geral é:
Onde
é a função superior e
a inferior. Aqui,
e
, com
e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os termos:
Então,
Passo 7
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Para
:
Para
:
Calculando as diferenças:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.