Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela parábola y = x^2 + 1 e pela reta y = x + 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pela parábola e pela reta em torno do eixo . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar quais curvas estão acima e quais estão abaixo no intervalo entre e . Observando as funções:
Para :
Então, a reta está acima da parábola .

Passo 5

Usaremos o método dos anéis para calcular o volume. A fórmula geral é:
Onde é a função superior e a inferior. Aqui, e , com e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os termos:
Então,

Passo 7

Integrando termo a termo:
Avaliado de a :
Para :
Para :
Calculando as diferenças:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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