A região
, limitada pela curva
, o eixo dos
e as retas
e
, gira em torno do eixo dos
. Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região
em torno do eixo
. A região
é limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo de rotação para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando giramos uma área ao redor do eixo
, cada pequeno pedaço da área forma um “disco” com uma certa espessura. A área de cada disco é dada por
, onde
é a função que descreve a borda da região.
Passo 3
No nosso caso, a função que define a curva é
. Então, a área de cada disco será:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de
a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Passo 6
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região limitada por
.
A região
, delimitada pela parábola
e pelas retas
e
gira em torno da reta
. Determine
volume do sólido de revolução obtido.
Encontre o número
que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
e