A região , limitada pela curva , o eixo dos e as retas e , gira em torno do eixo dos . Determine o volume do sólido de revolução gerado. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região em torno do eixo . A região é limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas verticais e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área de discos infinitesimais ao longo do eixo de rotação para encontrar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Quando giramos uma área ao redor do eixo , cada pequeno pedaço da área forma um “disco” com uma certa espessura. A área de cada disco é dada por , onde é a função que descreve a borda da região.

Passo 3

No nosso caso, a função que define a curva é . Então, a área de cada disco será:

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de a :

Passo 5

Vamos resolver a integral:

Passo 6

Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução gerado é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região limitada por .
A região , delimitada pela parábola e pelas retas e gira em torno da reta . Determine volume do sólido de revolução obtido.
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no intervalo
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
e