Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
f(x) = raiz(x) no intervalo [0, 4]

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função no intervalo . Vamos usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial, para encontrar o número que satisfaz a condição do teorema.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função atende às condições do Teorema do Valor Médio. A função precisa ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Como a raiz quadrada é contínua e diferenciável nesses intervalos, estamos prontos para aplicar o teorema.

Passo 3

O Teorema do Valor Médio nos diz que existe pelo menos um número em tal que:
Vamos calcular os valores necessários.

Passo 4

Calculando e :
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de :
Igualando a derivada a 0.5:

Passo 6

Resolvendo para :
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Resposta

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