Encontre o número
que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para a função no intervalo dado:
no intervalo
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
no intervalo
. Vamos usar o Teorema do Valor Médio, que faz parte do cálculo diferencial, para encontrar o número
que satisfaz a condição do teorema.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função
atende às condições do Teorema do Valor Médio. A função precisa ser contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
. Como a raiz quadrada é contínua e diferenciável nesses intervalos, estamos prontos para aplicar o teorema.
Passo 3
O Teorema do Valor Médio nos diz que existe pelo menos um número
em
tal que:
Vamos calcular os valores necessários.
Passo 4
Calculando
e
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
Igualando a derivada a 0.5:
Passo 6
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados: