Seja z=z(x, y) uma função diferenciável dada implicitamente pela equação x^3+y^3+z^3-6 x y x=2. Determine partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Vamos resolver o problema que nos pede para encontrar as derivadas parciais de x^3 + y^3 + z^3 - 6x^2y = 2 em relação a e . A equação que define implicitamente é:
Vamos precisar usar o conceito de diferenciação implícita para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx(x^3) + ddx(y^3) + ddx(z^3) - ddx(6x^2y) = ddx(2) , tratando 3x^2 + 0 + 3z^2partial zpartial x - 12xy = 0 como constante. Lembrando que é uma função de e , aplicamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos isolar 3z^2partial zpartial x = -3x^2 + 12xy :
partial zpartial x = -3x^2 + 12xy3z^2 = -x^2 + 4xyz^2
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar a equação original em relação a ddy(x^3) + ddy(y^3) + ddy(z^3) - ddy(6x^2y) = ddy(2) , tratando 0 + 3y^2 + 3z^2partial zpartial y - 6x^2 = 0 como constante:
Isso resulta em:

Passo 5

Vamos isolar 3z^2partial zpartial y = -3y^2 + 6x^2 :
partial zpartial y = -3y^2 + 6x^23z^2 = -y^2 + 2x^2z^2
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -x^2 + 4xyz^2
e
partial zpartial y = -y^2 + 2x^2z^2

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