Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(a) Elipse, focos
e
e vértices
e
.
(a) Elipse, focos
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar a equação de uma elipse. As informações que temos são:
- Focos: (2, 0) e (−2, 0)
- Vértices: (5, 0) e (−5, 0)
Vamos usar esses dados para montar a equação da elipse. Para isso, precisamos lembrar algumas propriedades das elipses, como a relação entre os focos, vértices e os eixos da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos estão em (2, 0) e (−2, 0), eles estão alinhados ao longo do eixo x e são simétricos em relação à origem. Isso significa que o centro da elipse está na origem, ou seja, no ponto (0, 0).
Passo 3
Agora, vamos determinar o semi-eixo maior da elipse, que é representado pela letra “a”. Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. Como os vértices são (5, 0) e (−5, 0), a distância do centro até cada vértice é 5. Portanto:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a distância dos focos ao centro, que é representada pela letra “c”. Os focos estão em (2, 0) e (−2, 0), então a distância do centro (0, 0) a cada foco é 2. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos descobrir o semi-eixo menor da elipse, representado pela letra “b”. Para isso, usamos a relação fundamental das elipses:
Substituindo os valores que já temos:
Então:
Passo 6
Com todos os valores encontrados (a = 5 e b² = 21), podemos escrever a equação padrão da elipse que tem o centro na origem e o eixo maior ao longo do eixo x:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é
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.
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, ao redor do eixo
(12.3)
Seja
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e
.
Calcule o centróide de .
Calcule o centróide de