Se
e
. Prove as seguintes propriedades de limites:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que se
e
, então
. Isso tá na matéria de Cálculo, mais especificamente em propriedades dos limites. A gente vai precisar entender como os limites individuais de duas funções se comportam quando a gente multiplica elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que à medida que x chega perto de p, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L₁. O mesmo vale para g(x) chegando perto de L₂.
Passo 3
Agora, para provar que o limite do produto f(x)·g(x) é L₁·L₂, vamos usar a propriedade dos limites que nos permite multiplicar os limites individuais quando eles existem. Ou seja, se cada função tem um limite quando x se aproxima de p, o limite do produto é o produto dos limites.
Passo 4
Formalmente, sabemos que:
Substituindo os limites dados, temos:
Resposta
Portanto, provamos que
.