Se lim x p f(x)=L1 e lim x p g(x)=L2. Prove as seguintes propriedades de limites:
c) lim x p f(x) cdot g(x)=L1 cdot L2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que se lim x p f(x)=L1 e lim x p g(x)=L2, então lim x p f(x) cdot g(x)=L1 cdot L2. Isso tá na matéria de Cálculo, mais especificamente em propriedades dos limites. A gente vai precisar entender como os limites individuais de duas funções se comportam quando a gente multiplica elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que lim x p f(x)=L1. Isso quer dizer que à medida que x chega perto de p, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L₁. O mesmo vale para g(x) chegando perto de L₂.

Passo 3

Agora, para provar que o limite do produto f(x)·g(x) é L₁·L₂, vamos usar a propriedade dos limites que nos permite multiplicar os limites individuais quando eles existem. Ou seja, se cada função tem um limite quando x se aproxima de p, o limite do produto é o produto dos limites.

Passo 4

Formalmente, sabemos que:
lim x p [f(x) cdot g(x)] = ( lim x p f(x) ) cdot ( lim x p g(x) )
Substituindo os limites dados, temos:
lim x p [f(x) cdot g(x)] = L1 cdot L2

Resposta

Portanto, provamos que lim x p f(x) cdot g(x)=L1 cdot L2.

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