Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por e pelas retas e em torno:
d. Da reta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região em torno da reta . A região limitada é dada pela curva , pela reta e pela reta . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical que não é o eixo das ordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Esse método serve para calcular volumes de sólidos de revolução utilizando integrais. A ideia é imaginar o sólido como sendo formado por várias “cascas” cilíndricas fininhas empilhadas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, raio é a distância da casca até o eixo de rotação, e altura é a altura da casca.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração e as funções que descrevem a região. A curva pode ser reescrita como . A reta intersecta quando , ou seja, . Portanto, nossos limites em serão de 0 a 2.

Passo 4

Como estamos girando em torno da reta , o raio de cada casca será a distância entre e a posição . Então, o raio é:
A altura da casca é a variação em , que vai de 0 até 2, mas nesse caso, como estamos integrando em , a altura é simplesmente , mas na verdade, precisamos reavaliar isso. Na verdade, a altura é a diferença entre as funções limites em direção vertical. Aqui, a altura é simplesmente a distância entre e , que é constante e igual a 2. Porém, percebemos que precisamos ajustar a abordagem.
Vamos reformular: na verdade, para esse caso, é mais fácil integrar em . Então, vamos ajustar para integrar em .

Passo 5

Voltando ao método dos discos, podemos considerar que a rotação em torno de cria discos com raio dado pela distância de cada ponto até . A fórmula para o volume é:
Mas temos que expressar tudo em termos de . Sabemos que , então . Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Expandindo :
Substituindo na integral:
Distribuindo :

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos avaliar de 0 a 4:
Para :
Então:
Calculando cada termo:

Passo 9

Vamos somar os termos:
Ops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer.

Passo 10

Recalculando:
Somando:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno da reta é aproximadamente unidades cúbicas.

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