Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
e pelas retas
e
em torno:
d. Da reta
d. Da reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região em torno da reta
. A região limitada é dada pela curva
, pela reta
e pela reta
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical que não é o eixo das ordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Esse método serve para calcular volumes de sólidos de revolução utilizando integrais. A ideia é imaginar o sólido como sendo formado por várias “cascas” cilíndricas fininhas empilhadas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, raio é a distância da casca até o eixo de rotação, e altura é a altura da casca.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração e as funções que descrevem a região. A curva
pode ser reescrita como
. A reta
intersecta
quando
, ou seja,
. Portanto, nossos limites em
serão de 0 a 2.
Passo 4
Como estamos girando em torno da reta
, o raio de cada casca será a distância entre
e a posição
. Então, o raio é:
A altura da casca é a variação em
, que vai de 0 até 2, mas nesse caso, como estamos integrando em
, a altura é simplesmente
, mas na verdade, precisamos reavaliar isso. Na verdade, a altura é a diferença entre as funções limites em direção vertical. Aqui, a altura é simplesmente a distância entre
e
, que é constante e igual a 2. Porém, percebemos que precisamos ajustar a abordagem.
Vamos reformular: na verdade, para esse caso, é mais fácil integrar em
. Então, vamos ajustar para integrar em
.
Passo 5
Voltando ao método dos discos, podemos considerar que a rotação em torno de
cria discos com raio dado pela distância de cada ponto
até
. A fórmula para o volume é:
Mas temos que expressar tudo em termos de
. Sabemos que
, então
. Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Expandindo
:
Substituindo na integral:
Distribuindo
:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar de 0 a 4:
Para
:
Então:
Calculando cada termo:
Passo 9
Vamos somar os termos:
Ops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer.
Passo 10
Recalculando:
Somando:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno da reta
é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Derive cada função abaixo.
Derive cada função abaixo.
Calcule: