Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por e pelas retas e em torno:
c. Da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume do sólido que nasce quando a região delimitada pela curva , a reta e a reta gira em torno da reta . Vamos usar o cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que é ótimo para encontrar volumes de rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da região que vai girar. A curva intercepta a reta quando . Elevando ao quadrado, temos . Então, nossa região está entre e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a rotação em torno da reta . Para usar o método dos anéis, a gente precisa calcular o raio externo e o raio interno de cada “anel” formado pela rotação.
Passo 4
O raio externo () é a distância do eixo de rotação () até a reta , que nesse caso é zero, já que a reta gira sobre si mesma. O raio interno () é a distância do eixo de rotação até a curva . Como o eixo está em , a distância é .
Passo 5
A área de cada anel é dada por . Substituindo nossos valores:
Mas como estamos lidando com áreas, podemos considerar o valor positivo:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integremos essa área de a :
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando tudo:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno da reta é unidades cúbicas.