Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por e pelas retas e em torno:
c. Da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume do sólido que nasce quando a região delimitada pela curva , a reta e a reta gira em torno da reta . Vamos usar o cálculo integral para isso, especificamente o método dos discos ou anéis, que é ótimo para encontrar volumes de rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da região que vai girar. A curva intercepta a reta quando . Elevando ao quadrado, temos . Então, nossa região está entre e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a rotação em torno da reta . Para usar o método dos anéis, a gente precisa calcular o raio externo e o raio interno de cada “anel” formado pela rotação.

Passo 4

O raio externo ( ) é a distância do eixo de rotação ( ) até a reta , que nesse caso é zero, já que a reta gira sobre si mesma. O raio interno ( ) é a distância do eixo de rotação até a curva . Como o eixo está em , a distância é .

Passo 5

A área de cada anel é dada por . Substituindo nossos valores:
Á
Mas como estamos lidando com áreas, podemos considerar o valor positivo:
Á

Passo 6

Para encontrar o volume total, integremos essa área de a :
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região dada em torno da reta é unidades cúbicas.

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Multiplique
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