Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide a esfera .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque as superfícies são simétricas em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o paraboloide e a esfera se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Vamos simplificar isso usando coordenadas cilíndricas, onde :
Isso é uma equação quadrática em :
Resolvendo para :
Então, . Esse é o raio onde o paraboloide e a esfera se encontram.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Usaremos coordenadas cilíndricas ():
Aqui:
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
varia de a , que é o raio de interseção.
varia do paraboloide () até a esfera ().
Passo 4
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, o volume fica:
Passo 5
Vamos agora resolver a integral em :
Primeiro, resolvemos usando substituição:
Seja , então ou .
A integral fica:
Voltando para :
avaliada de a :
Agora, resolvemos :
Então, a integral em fica:
Passo 6
Finalmente, resolvemos a integral em :
Resposta
O volume do sólido entre o paraboloide e a esfera é: