Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, porque as superfícies são simétricas em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o paraboloide e a esfera se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Vamos simplificar isso usando coordenadas cilíndricas, onde :
Isso é uma equação quadrática em :
Resolvendo para :
çã
Então, . Esse é o raio onde o paraboloide e a esfera se encontram.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Usaremos coordenadas cilíndricas ( ):
Aqui:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • varia de a , que é o raio de interseção.
  • varia do paraboloide ( ) até a esfera ( ).

Passo 4

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, o volume fica:

Passo 5

Vamos agora resolver a integral em :
Primeiro, resolvemos usando substituição:
Seja , então ou .
A integral fica:
Voltando para :
avaliada de a :
Agora, resolvemos :
Então, a integral em fica:

Passo 6

Finalmente, resolvemos a integral em :

Resposta

O volume do sólido entre o paraboloide e a esfera é:

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