Um sólido E está contido no cilindro x^2 + y^2 = y, abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1 - x^2 - y^2. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre encontrar a massa de um sólido que está dentro de um cilindro definido por , abaixo do plano e acima do paraboloide . A densidade em qualquer ponto desse sólido é proporcional à distância desse ponto ao eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de volumes com integrais triplas, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas e como calcular densidades variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso mostra que o cilindro tem raio e está centrado no eixo . Então, o eixo do cilindro é paralelo ao eixo .

Passo 3

Como a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro, vamos chamar a densidade de:
onde é a constante de proporcionalidade e é a distância do ponto ao eixo do cilindro. No nosso caso, como o cilindro está deslocado, usamos coordenadas cilíndricas deslocadas ou simplesmente calculamos a distância diretamente.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para nosso sólido . O sólido está limitado:
  • Horizontalmente pelo cilindro
  • Verticalmente abaixo por e acima por
Isso significa que para cada ponto dentro do cilindro, varia de até .

Passo 5

Para simplificar as integrais, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Mas, como nosso cilindro está centrado em , vamos ajustar para acomodar esse deslocamento.
No entanto, para simplificar nossa vida, podemos manter as coordenadas cartesianas e integrar sobre a região circular definida pelo cilindro.

Passo 6

A massa do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume :
Substituindo :
onde é a distância ao eixo do cilindro, que no nosso caso é .

Passo 7

Vamos calcular a integral em coordenadas cilíndricas com o deslocamento. Os limites para serão de 0 a , já que o raio do cilindro é , vai de 0 a , e vai de a .
A expressão para a massa fica:
Aqui, vem de e do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo começando pela integral em :
Então, a massa fica:

Passo 9

Vamos agora integrar em :

Passo 10

Agora, integramos em :

Resposta

A massa do sólido é .

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