Um sólido
está contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre encontrar a massa de um sólido
que está dentro de um cilindro definido por
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto desse sólido é proporcional à distância desse ponto ao eixo do cilindro. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de volumes com integrais triplas, além de entender um pouco sobre coordenadas cilíndricas e como calcular densidades variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cilindro
. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso mostra que o cilindro tem raio
e está centrado no eixo
. Então, o eixo do cilindro é paralelo ao eixo
.
Passo 3
Como a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro, vamos chamar a densidade
de:
onde
é a constante de proporcionalidade e
é a distância do ponto ao eixo do cilindro. No nosso caso, como o cilindro está deslocado, usamos coordenadas cilíndricas deslocadas ou simplesmente calculamos a distância
diretamente.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para nosso sólido
. O sólido está limitado:
- Horizontalmente pelo cilindro
- Verticalmente abaixo por
e acima por
Isso significa que para cada ponto
dentro do cilindro,
varia de
até
.
Passo 5
Para simplificar as integrais, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Mas, como nosso cilindro está centrado em
, vamos ajustar para acomodar esse deslocamento.
No entanto, para simplificar nossa vida, podemos manter as coordenadas cartesianas e integrar sobre a região circular definida pelo cilindro.
Passo 6
A massa
do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume
:
Substituindo
:
onde
é a distância ao eixo do cilindro, que no nosso caso é
.
Passo 7
Vamos calcular a integral em coordenadas cilíndricas com o deslocamento. Os limites para
serão de 0 a
, já que o raio do cilindro é
,
vai de 0 a
, e
vai de
a
.
A expressão para a massa fica:
Aqui,
vem de
e do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo começando pela integral em
:
Então, a massa fica:
Passo 9
Vamos agora integrar em
:
Passo 10
Agora, integramos em
:
Resposta
A massa do sólido
é
.
Exercícios relacionados
use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Seja
e considere a função
dada por
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
Calcule os seguintes limites laterais:
e
, onde
é dada por
.
Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide
a esfera
.