Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelo plano
. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) e que é limitado por duas superfícies: o cilindro
e o plano
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que nos permitem calcular volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as fronteiras do sólido para determinar os limites de integração. O cilindro
é um cilindro circular de raio 3, orientado ao longo do eixo
. O plano
pode ser rearranjado para
, mostrando que, para cada
,
varia de 0 até
.
No primeiro octante,
varia de 0 a 3 (pois quando
,
),
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
(derivado da equação do cilindro).
Passo 3
Com esses limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, estamos integrando primeiro em
, depois em
, e por último em
.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integração em
:
- Integração em
:
- Integração em
:
Para resolver essa última integral, podemos simplificar:
Fazendo uma substituição
, temos
. No entanto, essa integral pode ser resolvida através de métodos de integração por partes ou tabelas de integrais. O resultado final desta integral é:
Passo 5
Para verificar se o volume encontrado faz sentido, podemos comparar com o volume de um cilindro completo de raio 3 e altura 3 no primeiro octante. O volume de um cilindro completo é dado por:
Como estamos considerando apenas uma parte limitada pelo plano
no primeiro octante, o volume encontrado
é coerente e menor que o volume total do cilindro.
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelo plano
é
unidades cúbicas.