Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 9 e pelo plano x + 3y = 3. Verifique se o volume encontrado é coerente comparando com um sólido conhecido.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde , e são positivos) e que é limitado por duas superfícies: o cilindro e o plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que nos permitem calcular volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as fronteiras do sólido para determinar os limites de integração. O cilindro é um cilindro circular de raio 3, orientado ao longo do eixo . O plano pode ser rearranjado para , mostrando que, para cada , varia de 0 até .
No primeiro octante, varia de 0 a 3 (pois quando , ), varia de 0 a , e varia de 0 a (derivado da equação do cilindro).

Passo 3

Com esses limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, estamos integrando primeiro em , depois em , e por último em .

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
  1. Integração em :
Para resolver essa última integral, podemos simplificar:
Fazendo uma substituição , temos . No entanto, essa integral pode ser resolvida através de métodos de integração por partes ou tabelas de integrais. O resultado final desta integral é:

Passo 5

Para verificar se o volume encontrado faz sentido, podemos comparar com o volume de um cilindro completo de raio 3 e altura 3 no primeiro octante. O volume de um cilindro completo é dado por:
Como estamos considerando apenas uma parte limitada pelo plano no primeiro octante, o volume encontrado é coerente e menor que o volume total do cilindro.

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e pelo plano é unidades cúbicas.

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