Utilize a mudança de variável adequada para calcular a integral integral duplaR y d A, sendo R a região delimitada por x^2+y^2-4 x+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR y , dA, onde a região R é definida pela equação x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0. Primeiro, é bom entender qual é essa região R. A equação parece uma circunferência, mas precisa ser colocada em uma forma mais clara. Para isso, vamos completar os quadrados nos termos de x e y. Além disso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Vamos começar completando o quadrado para x e y na equação da região R.
Para x:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
Para y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Substituindo na equação original:
(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 0
Simplificando:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5
Isso mostra que R é um círculo com centro em (2, -1) e raio raiz5.

Passo 3

Agora que sabemos que R é um círculo, fica mais fácil de trabalhar com coordenadas polares. Vamos fazer uma mudança de variável que centralize o círculo na origem. Para isso, fazemos uma substituição:
u = x - 2
v = y + 1
Com isso, a equação do círculo fica:
u^2 + v^2 = 5
Agora, vamos reescrever a funç��o que estamos integrando e o diferencial de área dA em termos de u e v. A função y fica v - 1 e o diferencial de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 4

Vamos agora expressar a integral na nova coordenada. A integral original integral duplaR y , dA se torna:
integral duplau^2 + v^2 <= 5 (v - 1) , r , dr , dtheta
Como u^2 + v^2 = r^2, e usamos coordenadas polares, os limites de integração para r vão de 0 a raiz5 e para theta de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral duplaR y , dA = integral0^2pi integral0^raiz5 v , r , dr , dtheta - integral0^2pi integral0^raiz5 r , dr , dtheta
Sabemos que em coordenadas polares, v = r sintheta, então substituindo:
= integral0^2pi integral0^raiz5 r sintheta cdot r , dr , dtheta - integral0^2pi integral0^raiz5 r , dr , dtheta
= integral0^2pi integral0^raiz5 r^2 sintheta , dr , dtheta - integral0^2pi integral0^raiz5 r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi sintheta , dtheta cdot integral0^raiz5 r^2 , dr
Sabemos que integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 (pois a função seno é simétrica e se cancela no intervalo completo).
Segunda integral:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^raiz5 r , dr = 2pi cdot [ 12 r^2 ]0^raiz5 = 2pi cdot 52 = 5pi

Passo 7

Agora, juntando os resultados:
integral duplaR y , dA = 0 - 5pi = -5pi

Resposta

A integral integral duplaR y , dA vale -5pi.

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