Utilize a mudança de variável adequada para calcular a integral
, sendo
a região delimitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida pela equação
. Primeiro, é bom entender qual é essa região
. A equação parece uma circunferência, mas precisa ser colocada em uma forma mais clara. Para isso, vamos completar os quadrados nos termos de
e
. Além disso, vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução da integral.
Passo 2
Vamos começar completando o quadrado para
e
na equação da região
.
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso mostra que
é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um círculo, fica mais fácil de trabalhar com coordenadas polares. Vamos fazer uma mudança de variável que centralize o círculo na origem. Para isso, fazemos uma substituição:
Com isso, a equação do círculo fica:
Agora, vamos reescrever a funç��o que estamos integrando e o diferencial de área
em termos de
e
. A função
fica
e o diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Vamos agora expressar a integral na nova coordenada. A integral original
se torna:
Como
, e usamos coordenadas polares, os limites de integração para
vão de
a
e para
de
a
.
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Sabemos que em coordenadas polares,
, então substituindo:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que
(pois a função seno é simétrica e se cancela no intervalo completo).
Segunda integral:
Passo 7
Agora, juntando os resultados:
Resposta
A integral
vale
.