Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido. e ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido de revolução que é gerado ao girar uma região específica ao redor do eixo dos . As curvas que delimitam essa região são e . Vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente pelo método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região . Temos duas funções:
: Essa é uma parábola que abre para a direita.
: Essa é uma parábola que abre para a esquerda.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Somando em ambos os lados:
Então, as curvas se intersectam quando e . Isso significa que nossa região está entre e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região . Entre e , a curva está à direita da origem, e está à esquerda, criando uma espécie de “lente” simétrica em relação ao eixo dos .
Como vamos girar essa região em torno do eixo dos , podemos usar o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de discos infinitesimais, cuja área é , onde é a distância do eixo de rotação até a curva externa.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos, precisamos identificar qual das curvas está mais afastada do eixo dos na região . Observando as equações:
Percebe-se que está mais à esquerda (menor valor de ) e está mais à direita (maior valor de ) dentro do intervalo .
Quando giramos em torno do eixo dos , a distância de cada ponto até o eixo dos é o valor absoluto de . Portanto, o raio do disco será dado pela diferença entre as duas curvas:
Passo 5
Agora, podemos expressar o volume do sólido de revolução como a integral dos discos ao longo do intervalo de :
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações: