Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo dos
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região, definida pelas curvas
,
,
e
, é rodada em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o conceito de sólidos de revolução, que é uma parte importante do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa uma parábola que abre para a direita. As retas
e
são os eixos
e
respectivamente, e
é uma linha horizontal que corta a parábola. Então, a região
está entre a parábola, o eixo
,
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo dos
, o melhor método para calcular o volume é o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
a partir da equação da parábola:
O volume de um disco infinitesimal com espessura
e raio
é dado por:
Passo 5
Agora, integramos
de
até
para encontrar o volume total:
Calculando a integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das eqs. abaixo. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo