Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região R e do sólido.
y^2 = 2 x, x = 0, y = 0 e y = 2; ao redor do eixo dos y (R: 8 pi / 5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo aqui. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando uma região, definida pelas curvas , , e , é rodada em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar o conceito de sólidos de revolução, que é uma parte importante do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa uma parábola que abre para a direita. As retas e são os eixos e respectivamente, e é uma linha horizontal que corta a parábola. Então, a região está entre a parábola, o eixo , e .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo dos , o melhor método para calcular o volume é o método dos discos. Esse método envolve cortar o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.

Passo 4

Vamos expressar em termos de a partir da equação da parábola:
O volume de um disco infinitesimal com espessura e raio é dado por:

Passo 5

Agora, integramos de até para encontrar o volume total:
Calculando a integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados