Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos , da região delimitada pelos gráficos das eqs. abaixo. Faça o esboço da região e do sólido.
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido de revolução. Ou seja, vamos girar uma região no plano em torno do eixo dos e descobrir quanto de espaço esse sólido ocupa. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis. Os gráficos que delimitam a região são , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. A gente tem as curvas , que é uma parábola aberta para cima, e as retas (eixo ), e (eixo ). Para visualizar, imagine essa parábola intersectando o eixo em e se estendendo até .

Passo 3

Agora, para calcular o volume, vamos usar o método dos discos. Como estamos girando em torno do eixo dos , a fórmula que vamos usar é:
Onde é a função que define a fronteira da região e é o intervalo de que estamos considerando.

Passo 4

Vamos identificar e os limites de integração. Aqui, e vamos integrar de até . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo na integral:

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites e :
Para :
Para :
Então, a diferença fica:

Passo 8

Vamos somar as frações:

Passo 9

Multiplicando pelo , temos o volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos da região delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ; ao redor do eixo dos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região e do sólido.
e ; ao redor do eixo