Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das eqs. abaixo. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido de revolução. Ou seja, vamos girar uma região no plano em torno do eixo dos
e descobrir quanto de espaço esse sólido ocupa. Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis. Os gráficos que delimitam a região
são
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. A gente tem as curvas
, que é uma parábola aberta para cima, e as retas
(eixo
),
e
(eixo
). Para visualizar, imagine essa parábola intersectando o eixo
em
e se estendendo até
.
Passo 3
Agora, para calcular o volume, vamos usar o método dos discos. Como estamos girando em torno do eixo dos
, a fórmula que vamos usar é:
Onde
é a função que define a fronteira da região e
é o intervalo de
que estamos considerando.
Passo 4
Vamos identificar
e os limites de integração. Aqui,
e vamos integrar de
até
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo na integral:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Então, a diferença fica:
Passo 8
Vamos somar as frações:
Passo 9
Multiplicando pelo
, temos o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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e do sólido.
e
ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
da região
delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo dos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo