Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região R delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região R e do sólido.
y = 1/x, x = 0, y = 1/4 e y = 4(R: 15pi/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo dos . A região é limitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica padrão para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A curva é uma hipérbole que se aproxima dos eixos e mas nunca os toca. A reta é o próprio eixo . As linhas horizontais e vão cortar a hipérbole em dois pontos cada, definindo a altura da nossa região .

Passo 3

Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar os valores de onde as linhas horizontais interceptam a hipérbole.
  • Para :
  • Para :
Então, nosso intervalo de integração em vai de a .

Passo 4

Usando o método dos discos, a fórmula para o volume quando rotacionamos em torno do eixo é:
Aqui, é a função inversa de , que é . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de a :

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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