Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
da região
delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo dos
. A região
é limitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica padrão para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A curva
é uma hipérbole que se aproxima dos eixos
e
mas nunca os toca. A reta
é o próprio eixo
. As linhas horizontais
e
vão cortar a hipérbole em dois pontos cada, definindo a altura da nossa região
.
Passo 3
Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar os valores de
onde as linhas horizontais interceptam a hipérbole.
- Para
: - Para
:
Então, nosso intervalo de integração em
vai de
a
.
Passo 4
Usando o método dos discos, a fórmula para o volume
quando rotacionamos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a função inversa de
, que é
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
da região
delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das eqs. abaixo. Faça o esboço da região
e do sólido.
e