Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos y da região R delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região R e do sólido.
y = x^3 e y = x^2(R: pi/10)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido de revolução. O problema envolve as funções e . Vamos precisar usar integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilindricas), para calcular esse volume. Além disso, vamos fazer um esboço da região que está sendo girada em torno do eixo dos .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre e .
Igualando as duas funções:
Assim, as soluções são e .
Portanto, a região está limitada entre e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região . Entre e , a função está acima de .
Como queremos girar essa região em torno do eixo dos , o método dos cilindros é uma boa escolha. Esse método utiliza a fórmula:
onde é a função de cima e a de baixo.

Passo 4

Aplicando as funções que temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Avalie de a :

Passo 6

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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