Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
da região
delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido de revolução. O problema envolve as funções
e
. Vamos precisar usar integração, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilindricas), para calcular esse volume. Além disso, vamos fazer um esboço da região
que está sendo girada em torno do eixo dos
.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre
e
.
Igualando as duas funções:
Assim, as soluções são
e
.
Portanto, a região
está limitada entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
. Entre
e
, a função
está acima de
.
Como queremos girar essa região em torno do eixo dos
, o método dos cilindros é uma boa escolha. Esse método utiliza a fórmula:
onde
é a função de cima e
a de baixo.
Passo 4
Aplicando as funções que temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Avalie de
a
:
Passo 6
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
da região
delimitada pelos gráficos das eqs. dadas. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo