Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região R e do sólido.
y = x^(2/3) e y = 2; ao redor do eixo y = 0, R = 1024 pi / 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos o volume de um sólido de revolução criado ao girar a região limitada pelas curvas e em torno do eixo (que é o eixo ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos. Vamos precisar entender como aplicar integrais para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Vamos igualar a :
Para resolver isso, elevamos ambos os lados à potência :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo (eixo ), é conveniente expressar em termos de . A equação pode ser reescrita para :
Isso nos dá o raio de cada “disco” no método dos discos.

Passo 4

O método dos discos nos diz que o volume é dado por:
onde é o raio do disco em função de . Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Integrando :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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