Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinarmos o volume de um sólido de revolução criado ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
(que é o eixo
). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos. Vamos precisar entender como aplicar integrais para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Vamos igualar
a
:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados à potência
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
(eixo
), é conveniente expressar
em termos de
. A equação
pode ser reescrita para
:
Isso nos dá o raio de cada “disco” no método dos discos.
Passo 4
O método dos discos nos diz que o volume
é dado por:
onde
é o raio do disco em função de
. Aqui,
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Integrando
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
; ao redor do eixo dos
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das eqs. abaixo. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos indicados. Faça o esboço da região
e do sólido.
e
ao redor do eixo