Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O enunciado da questão é a função
. Isso está relacionado ao estudo das funções logarítmicas, mais especificamente, a análise de suas propriedades como domínio, imagem, derivada e gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos naturais e como manipular funções matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função
. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Como o logaritmo natural
só é definido para
, isso significa que nossa função também só existe para valores positivos de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de valores que
pode assumir. Sabemos que
pode variar de
a
conforme
cresce de 0 a
. Porém, como temos um sinal negativo na frente, a função
vai variar de
(quando
se aproxima de 0) até
(quando
se aproxima de
).
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a
.
A derivada de é
. Então, aplicando a regra da constante:
A derivada de
Isso significa que a inclinação da função diminui à medida que
aumenta.
Passo 5
Vamos analisar o gráfico da função
. Sabemos que o gráfico de
passa pelo ponto (1,0) e cresce sem limite conforme
aumenta. Com o sinal negativo, o gráfico de
vai refletir sobre o eixo
, começando de
quando
se aproxima de 0 e decrescendo passando pelo ponto (1,0) rumo a
à medida que
aumenta.
Resposta
A função
está definida para
, tem uma imagem que varia de
a
, sua derivada é
, e seu gráfico é uma curva decrescente que passa pelo ponto (1,0), refletindo o comportamento invertido do logaritmo natural tradicional.
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e