Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O enunciado da questão é a função . Isso está relacionado ao estudo das funções logarítmicas, mais especificamente, a análise de suas propriedades como domínio, imagem, derivada e gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos naturais e como manipular funções matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. Como o logaritmo natural só é definido para , isso significa que nossa função também só existe para valores positivos de .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de valores que pode assumir. Sabemos que pode variar de a conforme cresce de 0 a . Porém, como temos um sinal negativo na frente, a função vai variar de (quando se aproxima de 0) até (quando se aproxima de ).

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a .
A derivada de é . Então, aplicando a regra da constante:
Isso significa que a inclinação da função diminui à medida que aumenta.

Passo 5

Vamos analisar o gráfico da função . Sabemos que o gráfico de passa pelo ponto (1,0) e cresce sem limite conforme aumenta. Com o sinal negativo, o gráfico de vai refletir sobre o eixo , começando de quando se aproxima de 0 e decrescendo passando pelo ponto (1,0) rumo a à medida que aumenta.

Resposta

A função está definida para , tem uma imagem que varia de a , sua derivada é , e seu gráfico é uma curva decrescente que passa pelo ponto (1,0), refletindo o comportamento invertido do logaritmo natural tradicional.

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