Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério ( esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano , isto é, u.v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por um hemisfério e pela região circular no plano . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . A equação do hemisfério fica:
E a equação do círculo no plano , , fica simplesmente:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como o círculo tem raio 2, vamos integrar de 0 a 2. Já o ângulo vai de 0 a para cobrir todo o círculo. E para cada ponto , vai de 0 até .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas polares para calcular o volume :
Aqui, o extra é devido ao jacobiano das coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe , então ou .
Quando , e quando , .
Assim, a integral em fica:
Integrando:
Simplificando :

Passo 7

Agora, voltamos à integral em :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades de volume.

Exercícios relacionados

Esboce as curvas de nivel de para e .
Esboce as curvas de nivel de para e .
Determine as equações em coordenadas cilíndricas para as superfícies dadas por:
a)
b)
Determine o volume dos sólidos limitados pelo(s):
a) cilindro e pelos planos e .
b) paraboloides .