Utilize coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo hemisfério ( esfera) e inferiormente pela região circular dada pela interseção do cilindro círcular com o plano , isto é, u.v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por um hemisfério e pela região circular no plano . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . A equação do hemisfério fica:
E a equação do círculo no plano , , fica simplesmente:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como o círculo tem raio 2, vamos integrar de 0 a 2. Já o ângulo vai de 0 a para cobrir todo o círculo. E para cada ponto , vai de 0 até .
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas polares para calcular o volume :
Aqui, o extra é devido ao jacobiano das coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em . Vamos fazer uma substituição para facilitar: