use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como aplicar a transformada em equações diferenciais e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo pelas expressões conhecidas:
Passo 3
Simplificando a equação:
Vamos juntar os termos com
:
Passo 4
Isolando
:
Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos escrever:
Passo 6
Vamos agora separar a segunda fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores de
:
- Para
:
- Comparando os coeficientes dos termos de
, , e constantes:
Para que isso seja válido para todos os
, os coeficientes devem satisfazer:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: