use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + 4y = 9t, y(0) = 0, y'(0) = 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como aplicar a transformada em equações diferenciais e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
e
Aplicando a transformada na equação:
Substituindo pelas expressões conhecidas:

Passo 3

Simplificando a equação:
Vamos juntar os termos com :

Passo 4

Isolando :
Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos escrever:

Passo 6

Vamos agora separar a segunda fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , e , podemos escolher valores de :
  • Para :
  • Comparando os coeficientes dos termos de , , e constantes:
Para que isso seja válido para todos os , os coeficientes devem satisfazer:
Então:

Passo 7

Voltando à expressão de :

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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