Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana R descrita for rotacionada em torno do eixo x R é limitada por y = 1 / x e 3x + 3y = 10. Resposta: V = 512 pi / 81 u.v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido gerado quando a região é rotacionada em torno do eixo . A região é delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área das “fatias” circulares formadas pela rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Temos:
Igualando as duas expressões para :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os limites de integração para são de até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume ao rotacionar uma região em torno do eixo é:
Onde:
  • é a função de cima (a mais distante do eixo )
  • é a função de baixo (a mais próxima do eixo )
No nosso caso, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de a .

Passo 4

Vamos analisar as funções:
Vamos avaliar em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em :
Assim, está acima de nesse intervalo. Portanto, e .

Passo 5

Vamos montar a integral para o volume:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto:

Passo 8

Vamos calcular os valores nos limites de integração.
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

u.v.

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