Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana
descrita for rotacionada em torno do eixo
:©
é limitada por
e
. Resposta:
u.v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido gerado quando a região
é rotacionada em torno do eixo
. A região
é delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área das “fatias” circulares formadas pela rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Temos:
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Portanto, os limites de integração para
são de
até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume
ao rotacionar uma região em torno do eixo
é:
Onde:
-
é a função de cima (a mais distante do eixo ) -
é a função de baixo (a mais próxima do eixo )
No nosso caso, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de
a
.
Passo 4
Vamos analisar as funções:
Vamos avaliar em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em
:
Assim,
está acima de
nesse intervalo. Portanto,
e
.
Passo 5
Vamos montar a integral para o volume:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto:
Passo 8
Vamos calcular os valores nos limites de integração.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 9
Subtraindo os valores: