use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infinito) y'' + 4y' + 3y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. Estamos lidando com uma equação de segunda ordem com condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:

Passo 3

Sabemos que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação:

Passo 5

Agora, substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 6

Fatorando :
Então, isolamos :

Passo 7

Vamos fatorar o denominador:
Então:

Passo 8

Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Encontramos os valores de e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, substituímos e na expressão de :

Passo 11

Aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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