Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana R descrita for rotacionada em torno do eixo x :(e) R é limitada por y = ln(x), y = 0, x = 1 e x = e Resposta: V = pi(e - 2) u . v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região plana chamada que é delimitada pelas curvas , (o eixo ), e . A tarefa é descobrir o volume do sólido que surge quando rotacionamos essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A função é uma curva que cresce lentamente para a direita. Ela começa em onde e vai até onde . A linha é apenas o eixo . Então, a região é tipo uma “faixinha” entre e , debaixo da curva .

Passo 3

Vamos aplicar o método dos discos. Quando rotacionamos essa região em torno do eixo , cada pequena fatia vertical da região vira um disco. O volume de cada disco é dado pela área da base ( ) vezes a espessura ( ). Aqui, o raio de cada disco é a altura da curva , já que estamos rotacionando em torno do eixo .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que representa o volume total. A fórmula fica assim:
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função de até , e multiplicar por .

Passo 5

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a integração por partes. Deixando e , encontramos que a integral resulta em:
Agora, avaliamos essa expressão de até :

Resposta

Portanto, o volume do sólido obtido é:

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