Determine o volume dos sólidos obtidos se a região plana
descrita for rotacionada em torno do eixo
:(e)
é limitada por
e
Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região plana chamada
que é delimitada pelas curvas
,
(o eixo
),
e
. A tarefa é descobrir o volume do sólido que surge quando rotacionamos essa região ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A função
é uma curva que cresce lentamente para a direita. Ela começa em
onde
e vai até
onde
. A linha
é apenas o eixo
. Então, a região
é tipo uma “faixinha” entre
e
, debaixo da curva
.
Passo 3
Vamos aplicar o método dos discos. Quando rotacionamos essa região em torno do eixo
, cada pequena fatia vertical da região vira um disco. O volume de cada disco é dado pela área da base (
) vezes a espessura (
). Aqui, o raio
de cada disco é a altura da curva
, já que estamos rotacionando em torno do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa o volume total. A fórmula fica assim:
Isso significa que vamos integrar o quadrado da função
de
até
, e multiplicar por
.
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a integração por partes. Deixando
e
, encontramos que a integral resulta em:
Agora, avaliamos essa expressão de
até
:
Resposta
Portanto, o volume do sólido obtido é: