Para a hélice circular sigma(t) = (cos(t), sen(t), t), determine o comprimento de arco s, medido a partir de de (1, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice circular dada por . A gente precisa descobrir o comprimento de arco a partir do ponto s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica entre dois pontos. A fórmula é:
Aqui, é a derivada de sigma(t) em relação a t, e é o módulo dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da nossa hélice . Derivando cada componente em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada . Usamos a fórmula do módulo para vetores:
Sabemos que , então:

Passo 5

Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora integrar para achar o comprimento de arco. Como queremos o comprimento a partir de , que corresponde a , vamos integrar de 0 até t:

Resposta

O comprimento de arco s a partir do ponto é dado por:

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