Para a hélice circular
, determine o comprimento de arco
, medido a partir de de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice circular dada por . A gente precisa descobrir o comprimento de arco
a partir do ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica
entre dois pontos. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é o módulo dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da nossa hélice . Derivando cada componente em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada
. Usamos a fórmula do módulo para vetores:
Sabemos que , então:
Passo 5
Com o módulo da derivada encontrado, podemos agora integrar para achar o comprimento de arco. Como queremos o comprimento a partir de
, que corresponde a
, vamos integrar de
até
:
Resposta
O comprimento de arco
a partir do ponto
é dado por: