use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [0,+infty) ly^prime prime prime-4 y^prime=senh t y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y''' - 4y' = sinh t
Com as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 0
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly^(n)(t) = s^n Y(s) - s^n-1y(0) - s^n-2y'(0) - dots - y^(n-1)(0)
Como nossas condições iniciais são todas zero, isso simplifica as coisas.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Ly''' - 4Ly' = Lsinh t
Usando as propriedades das derivadas:
(s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)) - 4(s Y(s) - y(0)) = 1s^2 - 1
Como s^3 Y(s) - 4s Y(s) = 1s^2 - 1 , simplificamos para:

Passo 4

Agora, fatoramos Y(s)(s^3 - 4s) = 1s^2 - 1 na equação:
Y(s) = 1(s^3 - 4s)(s^2 - 1)
Isolando :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
s^3 - 4s = s(s^2 - 4) = s(s - 2)(s + 2)
E Y(s) = 1s(s - 2)(s + 2)(s - 1)(s + 1) .
Então, o fica:

Passo 6

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Y(s) = As + Bs - 2 + Cs + 2 + Ds - 1 + Es + 1
Multiplicamos ambos os lados por 1 = A(s - 2)(s + 2)(s - 1)(s + 1) + B s (s + 2)(s - 1)(s + 1) + C s (s - 2)(s - 1)(s + 1) + D s (s - 2)(s + 2)(s + 1) + E s (s - 2)(s + 2)(s - 1) para eliminar os denominadores:

Passo 7

Para encontrar os coeficientes 1 = A(-2)(2)(-1)(1) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14 , substituímos valores de 1 = B cdot 2 cdot 4 cdot 1 cdot 3 Rightarrow 1 = 24B Rightarrow B = 124 que simplificam a equação:
  • Para 1 = C cdot (-2) cdot (-4) cdot (-3) cdot (-1) Rightarrow 1 = 24C Rightarrow C = 124 :
1 = D cdot 1 cdot (-1) cdot 3 cdot 2 Rightarrow 1 = -6D Rightarrow D = -16
  • Para 1 = E cdot (-1) cdot (-3) cdot 1 cdot (-2) Rightarrow 1 = -6E Rightarrow E = -16 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever Y(s) = 14s + 124(s - 2) + 124(s + 2) - 16(s - 1) - 16(s + 1) como:

Passo 9

Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:
L^-11s = 1
L^-11s - a = e^a t
Então:
y(t) = 14 cdot 1 + 124 e^2t + 124 e^-2t - 16 e^t - 16 e^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14 + 124 e^2t + 124 e^-2t - 16 e^t - 16 e^-t

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