use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer a Transformada de Laplace e suas propriedades para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Como nossas condições iniciais são todas zero, isso simplifica as coisas.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando as propriedades das derivadas:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora, fatoramos
na equação:
Isolando
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais:
E
.
Então, o
fica:
Passo 6
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, substituímos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever
como:
Passo 9
Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: