Seja e . Calcule a taxa de variação máxima de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de três variáveis, , e nos pede para calcular a taxa de variação máxima dessa função no ponto . Pra isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rapidamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente da função no ponto é:

Passo 4

A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela magnitude do gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor é calculada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é .

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Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo em e . As seções transversais perpendiculares ao eixo são discos
circulares cujos diâmetros vão da reta à reta , conforme mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo .
Seja e . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Seja e . Determine a direção onde a taxa de variação de é máxima no ponto . Justifique sua resposta.