Seja f(x, y, z) = x * e^y + y * e^z + z * e^x, P = (0, 0, 0) e u = <5/raiz(30), 1/raiz(30), -2/raiz(30)>. Calcule a taxa de variação máxima de f no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de três variáveis, , e nos pede para calcular a taxa de variação máxima dessa função no ponto . Pra isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rapidamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente da função no ponto é:

Passo 4

A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela magnitude do gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor é calculada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é .

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