Seja e . Calcule a taxa de variação máxima de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de três variáveis, , e nos pede para calcular a taxa de variação máxima dessa função no ponto . Pra isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a direção em que a função cresce mais rapidamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Para :
Então, o gradiente da função no ponto é:
Passo 4
A taxa de variação máxima da função no ponto é dada pela magnitude do gradiente nesse ponto. A magnitude de um vetor é calculada por: