Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo
em
e
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são discos
circulares cujos diâmetros vão da reta
à reta
, conforme mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.
circulares cujos diâmetros vão da reta
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sólido limitado pelos planos
e
, e as seções transversais perpendicular ao eixo
são discos circulares. O diâmetro de cada disco vai da reta
à reta
. Para encontrar o volume desse sólido, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a integração das áreas dessas seções transversais ao longo do eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o diâmetro de cada disco em função de
. Como o diâmetro vai da reta
até
, a diferença entre essas duas funções vai nos dar o comprimento do diâmetro:
Passo 3
Agora, o raio
do disco é metade do diâmetro. Então:
Passo 4
Com o raio em mãos, podemos calcular a área
de cada disco usando a fórmula da área do círculo:
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área das seções transversais de
até
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo
.
Seja
. Mostre que
.
Seja
e
. Calcule a taxa de variação máxima de
no ponto
.
Seja
e
. Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.