Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo em e . As seções transversais perpendiculares ao eixo são discos
circulares cujos diâmetros vão da reta à reta , conforme mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sólido limitado pelos planos e , e as seções transversais perpendicular ao eixo são discos circulares. O diâmetro de cada disco vai da reta à reta . Para encontrar o volume desse sólido, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a integração das áreas dessas seções transversais ao longo do eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o diâmetro de cada disco em função de . Como o diâmetro vai da reta até , a diferença entre essas duas funções vai nos dar o comprimento do diâmetro:

Passo 3

Agora, o raio do disco é metade do diâmetro. Então:

Passo 4

Com o raio em mãos, podemos calcular a área de cada disco usando a fórmula da área do círculo:

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área das seções transversais de até :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo .
Seja . Mostre que .
Seja e . Calcule a taxa de variação máxima de no ponto .
Seja e . Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .