A equação 5 x^2+9 x-20 x-18 y-16=0 representa uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo x. Determine o centro e os focos dessa elipse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma elipse com o eixo maior paralelo ao eixo x. Nosso objetivo é encontrar o centro dessa elipse e os seus focos. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as equações das elipses e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação que nos foi dada:
5x^2 + 9x - 20x - 18y - 16 = 0
Vamos simplificar os termos semelhantes:
5x^2 - 11x - 18y - 16 = 0

Passo 3

Agora, vamos arrumar essa equação para a forma padrão da elipse. Para isso, a gente precisa completar o quadrado nos termos de x e isolar o termo de y. Vamos começar agrupando os termos de x:
5x^2 - 11x = 18y + 16

Passo 4

Vamos completar o quadrado para o termo de x. Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
5(x^2 - 115x) = 18y + 16
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. A fórmula para completar o quadrado é:
(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2
Comparando com x^2 - 115x, temos 2h = 115, então h = 1110. Assim, adicionamos e subtraímos (1110)^2 = 121100 dentro dos parênteses:
5(x^2 - 115x + 121100 - 121100) = 18y + 16

Passo 5

Simplificando:
5((x - 1110)^2 - 121100) = 18y + 16
Distribuindo o 5:
5(x - 1110)^2 - 605100 = 18y + 16

Passo 6

Vamos isolar o termo de y:
5(x - 1110)^2 = 18y + 16 + 605100
Simplificando os termos constantes:
5(x - 1110)^2 = 18y + 1600100 + 605100
5(x - 1110)^2 = 18y + 2205100

Passo 7

Dividindo todos os termos por 5 para isolar o quadrado:
(x - 1110)^2 = 185y + 2205500
Agora, vamos reescrever para deixar em forma padrão da elipse.

Passo 8

A forma padrão da elipse com eixo maior paralelo ao eixo x é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação, vamos organizar para se adequar a essa forma.

Passo 9

Rearranjando os termos:
(x - 1110)^22205500 + y^22205500 cdot 518 = 1
Simplificando as frações:
(x - 1110)^22205500 + y^222051800 = 1

Passo 10

Agora, identificamos os valores de a e b:
a^2 = 2205500 Rightarrow a = raiz2205500
b^2 = 22051800 Rightarrow b = raiz22051800

Passo 11

Calculando a e b:
a approx raiz4.41 approx 2.10
b approx raiz1.225 approx 1.11

Passo 12

O centro da elipse é (h, k), que tiramos da equação padrão. Então:
Centro = (1110, 0)

Passo 13

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c = raiza^2 - b^2
Calculando c:
c = raiz4.41 - 1.225 approx raiz3.185 approx 1.785

Passo 14

Como o eixo maior está paralelo ao eixo x, os focos estarão na horizontal em relação ao centro. Portanto, os focos são:
F1 = (1110 + 1.785, 0) = (2.885, 0)
F2 = (1110 - 1.785, 0) = (-0.685, 0)

Resposta

O centro da elipse é (1110, 0) e os focos estão nos pontos (2.885, 0) e (-0.685, 0).

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