A equação
representa uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo
. Determine o centro e os focos dessa elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma elipse com o eixo maior paralelo ao eixo
. Nosso objetivo é encontrar o centro dessa elipse e os seus focos. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre as equações das elipses e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação que nos foi dada:
Vamos simplificar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos arrumar essa equação para a forma padrão da elipse. Para isso, a gente precisa completar o quadrado nos termos de
e isolar o termo de
. Vamos começar agrupando os termos de
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para o termo de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. A fórmula para completar o quadrado é:
Comparando com
, temos
, então
. Assim, adicionamos e subtraímos
dentro dos parênteses:
Passo 5
Simplificando:
Distribuindo o 5:
Passo 6
Vamos isolar o termo de
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Dividindo todos os termos por 5 para isolar o quadrado:
Agora, vamos reescrever para deixar em forma padrão da elipse.
Passo 8
A forma padrão da elipse com eixo maior paralelo ao eixo
é:
Comparando com nossa equação, vamos organizar para se adequar a essa forma.
Passo 9
Rearranjando os termos:
Simplificando as frações:
Passo 10
Agora, identificamos os valores de
e
:
Passo 11
Calculando
e
:
Passo 12
O centro da elipse é
, que tiramos da equação padrão. Então:
Passo 13
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Calculando
:
Passo 14
Como o eixo maior está paralelo ao eixo
, os focos estarão na horizontal em relação ao centro. Portanto, os focos são:
Resposta
O centro da elipse é
e os focos estão nos pontos
e
.