Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4), C(3,2,3) e D(1,-2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um tetraedro que tem quatro vértices no espaço: A(2,1,3), B(2,7,4), C(3,2,3) e D(1,-2,3). Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a fórmula do volume de um tetraedro usando o produto misto de vetores. Vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos dados e depois usar determinantes para achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um dos vértices como base. Vou escolher o ponto D(1,-2,3). Agora, precisamos formar três vetores que partem desse ponto D até os outros três pontos: A, B e C.
Calculando os vetores:
  • Vetor DA = A - D = (2-1, 1-(-2), 3-3) = (1, 3, 0)
  • Vetor DB = B - D = (2-1, 7-(-2), 4-3) = (1, 9, 1)
  • Vetor DC = C - D = (3-1, 2-(-2), 3-3) = (2, 4, 0)

Passo 3

Agora que temos os três vetores, vamos usar a fórmula do volume do tetraedro. O volume V é dado por:
V = 16 | DA cdot (DB times DC) |
Isso significa que a gente precisa calcular o produto escalar do vetor DA com o produto vetorial dos vetores DB e DC.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial DB times DC = i & j & k 1 & 9 & 1 2 & 4 & 0 = i(9 cdot 0 - 1 cdot 4) - j(1 cdot 0 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 4 - 9 cdot 2) :
= i(-4) - j(-2) + k(-14) = (-4, 2, -14)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar DA cdot (-4, 2, -14) = 1 cdot (-4) + 3 cdot 2 + 0 cdot (-14) = -4 + 6 + 0 = 2 :

Passo 6

Finalmente, substituímos na fórmula do volume:
V = 16 |2| = 16 times 2 = 13

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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