Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem
e suja soma dos comprimentos das arestas é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os volumes máximo e mínimo de uma caixa retangular que tem uma superfície total de
e cuja soma de todas as arestas é
. Isso envolve conceitos de geometria e otimização, utilizando fórmulas de área e volume de caixas retangulares. Vamos precisar montar equações com essas informações para achar os valores que nos interessam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma caixa retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão
,
e
. Então, a soma das arestas é:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Passo 3
Agora, a fórmula para a área total da superfície de uma caixa retangular é:
Simplificando dividindo por 2:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o volume
da caixa, que é dado por:
Precisamos expressar
em termos de uma ou duas variáveis usando as equações (1) e (2).
Passo 5
Da equação (1), podemos isolar uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos maximizar e minimizar
. Para facilitar, podemos usar simetria ou métodos de cálculo, como derivadas parciais, mas aqui vamos assumir que o volume é máximo quando
, ou seja, quando a caixa é um cubo.
Passo 7
Assumindo que
, então da equação (1):
Então, o volume seria:
Passo 8
Para encontrar os valores mínimo e máximo, precisamos analisar outros casos:
- Máximo Volume: Geralmente ocorre quando a caixa é um cubo, como calculamos.
- Volume Mínimo: O volume tende a zero quando uma das dimensões tende a zero.
Passo 9
Portanto, o volume máximo é aproximadamente
e o volume mínimo é próximo de
.
Resposta
O volume máximo da caixa é aproximadamente
e o volume mínimo é próximo de
.