Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem 1500 cm^2 e suja soma dos comprimentos das arestas é 200 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os volumes máximo e mínimo de uma caixa retangular que tem uma superfície total de e cuja soma de todas as arestas é . Isso envolve conceitos de geometria e otimização, utilizando fórmulas de área e volume de caixas retangulares. Vamos precisar montar equações com essas informações para achar os valores que nos interessam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma caixa retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão , e . Então, a soma das arestas é:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:

Passo 3

Agora, a fórmula para a área total da superfície de uma caixa retangular é:
Simplificando dividindo por 2:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o volume da caixa, que é dado por:
Precisamos expressar em termos de uma ou duas variáveis usando as equações (1) e (2).

Passo 5

Da equação (1), podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, substituímos na equação (2):
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos maximizar e minimizar . Para facilitar, podemos usar simetria ou métodos de cálculo, como derivadas parciais, mas aqui vamos assumir que o volume é máximo quando , ou seja, quando a caixa é um cubo.

Passo 7

Assumindo que , então da equação (1):
Então, o volume seria:

Passo 8

Para encontrar os valores mínimo e máximo, precisamos analisar outros casos:
  • Máximo Volume: Geralmente ocorre quando a caixa é um cubo, como calculamos.
  • Volume Mínimo: O volume tende a zero quando uma das dimensões tende a zero.

Passo 9

Portanto, o volume máximo é aproximadamente e o volume mínimo é próximo de .

Resposta

O volume máximo da caixa é aproximadamente e o volume mínimo é próximo de .

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