Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida utilize o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.
f(x, y) = 4 + x^3 + y^3 - 3xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as curvas de nível de uma função para achar os pontos críticos de e descobrir se cada ponto é um ponto de sela, máximo local ou mínimo local. Depois, vamos confirmar essas previsões usando o Teste da Segunda Derivada. A função que estamos trabalhando é . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como identificar pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Isso significa que precisamos achar os pontos onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Substituindo da equação (1) na equação (2):
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de :
  • Se , então .
  • Se , então .
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos usar as curvas de nível para prever a natureza desses pontos críticos.
  • Ponto : Observando as curvas de nível próximas a esse ponto, percebemos que elas se cruzam de forma que indicam uma mudança de direção, sugerindo um ponto de sela.
  • Ponto : As curvas de nível ao redor desse ponto parecem concentrar-se de maneira a criar uma “bacia”, indicando um mínimo local.

Passo 5

Vamos confirmar essas predições usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante :
Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. No ponto :
    Como , o ponto é um ponto de sela.
  2. No ponto :
    Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos de são , que é um ponto de sela, e , que é um mínimo local. O Teste da Segunda Derivada confirmou que é um ponto de sela e é um mínimo local.

Exercícios relacionados