Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de
e se
tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida utilize o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as curvas de nível de uma função para achar os pontos críticos de
e descobrir se cada ponto é um ponto de sela, máximo local ou mínimo local. Depois, vamos confirmar essas previsões usando o Teste da Segunda Derivada. A função que estamos trabalhando é
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como identificar pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Isso significa que precisamos achar os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Substituindo
da equação (1) na equação (2):
Isso nos dá duas possibilidades:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar as curvas de nível para prever a natureza desses pontos críticos.
-
Ponto
: Observando as curvas de nível próximas a esse ponto, percebemos que elas se cruzam de forma que indicam uma mudança de direção, sugerindo um ponto de sela. -
Ponto
: As curvas de nível ao redor desse ponto parecem concentrar-se de maneira a criar uma “bacia”, indicando um mínimo local.
Passo 5
Vamos confirmar essas predições usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante
:
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
-
No ponto
: Como, o ponto é um ponto de sela. -
No ponto
: Comoe , o ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos de
são
, que é um ponto de sela, e
, que é um mínimo local. O Teste da Segunda Derivada confirmou que
é um ponto de sela e
é um mínimo local.