Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
usando os Multiplicadores de Lagrange. Para isso, temos duas restrições:
Vamos precisar entender como usar os multiplicadores de Lagrange para otimizar uma função com múltiplas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função
sujeita a restrições dadas por
e
. A ideia é que o gradiente de
seja uma combinação linear dos gradientes das restrições.
Passo 3
Vamos definir as funções das restrições:
Passo 4
Agora, calculamos os gradientes dessas funções:
Passo 5
Segundo os Multiplicadores de Lagrange, temos que:
Isso resulta nas seguintes equações:
-
→ -
-
Passo 6
Sabemos que
pela primeira equação. Vamos substituir
nas outras duas equações:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 7
Igualando as duas expressões para
:
Passo 8
Agora, vamos usar a relação
na segunda restrição
:
Passo 9
Com
, temos
.
Com , temos
.
Com
Passo 10
Vamos agora usar a primeira restrição
para encontrar
:
- Para
e :
- Para
e :
Passo 11
Agora temos dois pontos candidatos:
Passo 12
Vamos calcular
para cada ponto:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os valores máximo e mínimo da função são:
- Máximo:
- Mínimo: