Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z) = x + 2y ; x + y + z = 1, y^2 + z^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função usando os Multiplicadores de Lagrange. Para isso, temos duas restrições:
Vamos precisar entender como usar os multiplicadores de Lagrange para otimizar uma função com múltiplas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições dadas por e . A ideia é que o gradiente de seja uma combinação linear dos gradientes das restrições.

Passo 3

Vamos definir as funções das restrições:

Passo 4

Agora, calculamos os gradientes dessas funções:

Passo 5

Segundo os Multiplicadores de Lagrange, temos que:
Isso resulta nas seguintes equações:

Passo 6

Sabemos que pela primeira equação. Vamos substituir nas outras duas equações:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação:

Passo 7

Igualando as duas expressões para :

Passo 8

Agora, vamos usar a relação na segunda restrição :

Passo 9

Com , temos .
Com , temos .

Passo 10

Vamos agora usar a primeira restrição para encontrar :
  • Para e :
  • Para e :

Passo 11

Agora temos dois pontos candidatos:

Passo 12

Vamos calcular para cada ponto:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os valores máximo e mínimo da função são:
  • Máximo:
  • Mínimo:

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