Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
x^2 = 4y - 2y^2;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida pela equação . O objetivo é parametrizar essa curva, ou seja, expressar as coordenadas x e y em termos de um parâmetro comum, geralmente chamado de t. Para isso, vamos precisar mexer um pouco com álgebra e entender como transformar essa equação em formas que facilitem a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a parametrização. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para termos uma equação quadrática em y:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde , e . Isso nos permite resolver para y em termos de x usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática , temos:
Substituindo os valores de a, b e c:
Para que a expressão dentro da raiz seja real, precisamos que , ou seja, .

Passo 4

Agora, para facilitar a parametrização, vamos escolher um parâmetro t tal que ele represente x. Vamos definir:
Com isso, já temos uma parte da parametrização. Agora precisamos expressar y em termos de t.

Passo 5

Usando a expressão que encontramos para y:
Portanto, temos duas possíveis expressões para y em termos de t.

Passo 6

Para simplificar, vamos escolher apenas uma das soluções para parametrizar a curva. Vamos optar por:
Assim, nossa parametrização fica:
Onde t varia de a raiz(2) para garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa.

Passo 7

Para fazer um esboço da curva, observe que quando , temos . Quando ou , . A curva é simétrica em relação ao eixo y e tem um ponto máximo em e toca o eixo y novamente em e . Isso sugere que a curva tem a forma de uma parábola invertida.

Resposta

A parametrização da curva é dada por:
Para o esboço, a curva é uma parábola invertida com vértice em e intercepta o eixo y em e .

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