Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos a curva definida pela equação
. O objetivo é parametrizar essa curva, ou seja, expressar as coordenadas
e
em termos de um parâmetro comum, geralmente chamado de
. Para isso, vamos precisar mexer um pouco com álgebra e entender como transformar essa equação em formas que facilitem a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a parametrização. A equação dada é:
Vamos reescrever isso para termos uma equação quadrática em
:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde
,
e
. Isso nos permite resolver para
em termos de
usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
, temos:
Substituindo os valores de
,
e
:
Para que a expressão dentro da raiz seja real, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, para facilitar a parametrização, vamos escolher um parâmetro
tal que ele represente
. Vamos definir:
Com isso, já temos uma parte da parametrização. Agora precisamos expressar
em termos de
.
Passo 5
Usando a expressão que encontramos para
:
Portanto, temos duas possíveis expressões para
em termos de
.
Passo 6
Para simplificar, vamos escolher apenas uma das soluções para parametrizar a curva. Vamos optar por:
Assim, nossa parametrização fica:
Onde
varia de
a
para garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 7
Para fazer um esboço da curva, observe que quando
, temos
. Quando
ou
,
. A curva é simétrica em relação ao eixo
e tem um ponto máximo em
e toca o eixo
novamente em
e
. Isso sugere que a curva tem a forma de uma parábola invertida.
Resposta
A parametrização da curva
é dada por:
Para o esboço, a curva é uma parábola invertida com vértice em
e intercepta o eixo
em
e
.