Determine whether the following statement is TRUE or FALSE. Justify your answer.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma expressão que é a soma de três integrais duplas em coordenadas cartesianas, envolvendo a função
. A questão quer saber se essa expressão toda pode ser escrita como uma única integral iterada usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais duplas, mudança de coordenadas para polares e como as regiões de integração se comportam nesses sistemas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas integrais fornecidas. Elas estão todas na forma
, mas com diferentes limites de integração para
e
:
Essas integrais estão cobrindo diferentes regiões no plano
. Para mudar para coordenadas polares, precisamos descrever essas regiões em termos de
e
, onde
e
.
Passo 3
Vamos entender as regiões de integração:
-
Primeira Integral:
varia de a e, para cada , varia de a . Isso descreve uma faixa vertical entre e dentro de um círculo de raio 2 (já que ). -
Segunda Integral:
varia de a e varia de a . Isso cobre uma região à esquerda entre os círculos de raio 2 e 1. -
Terceira Integral:
varia de a e varia de a . Isso cobre a região à direita entre os círculos de raio 1 e 2.
Passo 4
Agora, vamos tentar visualizar isso em coordenadas polares. Em coordenadas polares, as integrais duplas se transformam em
. O desafio aqui é ver se podemos combinar essas três regiões distintas em uma única expressão em polares.
As três integrais abrangem:
- Uma faixa completa entre
e para de a . - Duas regiões laterais entre
e para de a .
Isso sugere que a região total tem simetria em torno do eixo
, mas não é uma região circular completa ou uma área facilmente descrita com limites contínuos para
e
.
Passo 5
Para que possamos escrever a expressão como uma única integral em polares, precisaríamos que a região de integração pudesse ser descrita por limites contínuos de
e
. No entanto, as três integrais estão cobrindo partes diferentes que não se unem de forma a formar uma única região circular ou angular simples.
Passo 6
Portanto, devido à forma fragmentada das regiões de integração, não é possível combinar as três integrais em uma única integral iterada em coordenadas polares sem complicar os limites ou introduzir condições adicionais.
Resposta
FALSO. A expressão dada não pode ser escrita como uma única integral iterada em coordenadas polares porque as regiões de integração são distintas e não se combinam em uma única descrição polar contínua.
Exercícios relacionados
Seja
. Construa uma função injetiva
e uma função sobrejetiva
.
Mostre que a união enumerável de conjuntos finitos é contável. Dê um exemplo em que essa união é um conjunto finito e outro na qual é um conjunto enumerável.
Evaluate
where
is the region in the first quadrant bounded by
, and
Teste a série quanto a convergência ou divergência.