Mostre que a união enumerável de conjuntos finitos é contável. Dê um exemplo em que essa união é um conjunto finito e outro na qual é um conjunto enumerável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a união de uma sequência enumerável de conjuntos finitos é contável. Isso pertence à área de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre contabilidade de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser contável, o que é uma união enumerável e como trabalhar com conjuntos finitos.
Passo 2
Vamos lembrar que um conjunto é contável se seus elementos podem ser listados em uma sequência, ou seja, podemos associar cada elemento a um número natural. Uma união enumerável significa que podemos listar os conjuntos que estamos unindo de forma que cada conjunto na união tenha um índice natural.
Passo 3
Agora, consideremos uma sequência de conjuntos finitos
. Cada
é finito, o que significa que podemos listar seus elementos. Para construir a união
, precisamos listar todos os elementos de todos os
.
Passo 4
Como cada
é finito, podemos enumerar seus elementos e, em seguida, intercalar esses elementos para criar uma sequência única que liste todos os elementos da união. Por exemplo, listando o primeiro elemento de
, depois o primeiro de
, e assim por diante, garantindo que todos os elementos sejam incluídos.
Passo 5
Dessa forma, conseguimos associar cada elemento da união a um número natural, mostrando que a união é contável.
Passo 6
Agora, vamos dar os exemplos pedidos:
Exemplo de união finita:
Considere e
. A união
é um conjunto finito.
Considere
Exemplo de união enumerável:
Considere para cada
. A união
é um conjunto enumerável.
Considere
Resposta
Mostramos que a união enumerável de conjuntos finitos é contável e fornecemos exemplos onde essa união é finita e enumerável.
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos respectivamente. Se
tem
elementos, mostre que
tem
elementos.
Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Seja
. Construa uma função injetiva
e uma função sobrejetiva
.
Determine whether the following statement is TRUE or FALSE. Justify your answer.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.