Mostre que a união enumerável de conjuntos finitos é contável. Dê um exemplo em que essa união é um conjunto finito e outro na qual é um conjunto enumerável.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a união de uma sequência enumerável de conjuntos finitos é contável. Isso pertence à área de Teoria dos Conjuntos, especificamente sobre contabilidade de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser contável, o que é uma união enumerável e como trabalhar com conjuntos finitos.

Passo 2

Vamos lembrar que um conjunto é contável se seus elementos podem ser listados em uma sequência, ou seja, podemos associar cada elemento a um número natural. Uma união enumerável significa que podemos listar os conjuntos que estamos unindo de forma que cada conjunto na união tenha um índice natural.

Passo 3

Agora, consideremos uma sequência de conjuntos finitos . Cada é finito, o que significa que podemos listar seus elementos. Para construir a união , precisamos listar todos os elementos de todos os .

Passo 4

Como cada é finito, podemos enumerar seus elementos e, em seguida, intercalar esses elementos para criar uma sequência única que liste todos os elementos da união. Por exemplo, listando o primeiro elemento de , depois o primeiro de , e assim por diante, garantindo que todos os elementos sejam incluídos.

Passo 5

Dessa forma, conseguimos associar cada elemento da união a um número natural, mostrando que a união é contável.

Passo 6

Agora, vamos dar os exemplos pedidos:
Exemplo de união finita:
Considere e . A união é um conjunto finito.
Exemplo de união enumerável:
Considere para cada . A união é um conjunto enumerável.

Resposta

Mostramos que a união enumerável de conjuntos finitos é contável e fornecemos exemplos onde essa união é finita e enumerável.

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