Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty(-1)^n+1 n5 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n5n+1 converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente analisando a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série é alternada porque tem o termo (-1)^n+1, o que faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa. O próximo passo é olhar para a parte que fica sem o sinal alternado, que aqui é n5n+1, e chamar isso de an.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos an diminuem de valor conforme n aumenta.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Precisamos ver se an = n5n+1 está diminuindo conforme n aumenta. Observando a fração, conforme n cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas o denominador cresce mais rápido porque tem um 5 na frente de n. Isso sugere que an diminui.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição. Calculamos o limite de an quando n vai para o infinito:
limn to infty n5n+1 = limn to infty 15 + 1n = 15 neq 0
O limite não é zero, então a segunda condição do teste não é atendida.

Resposta

Como o limite dos termos da série não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n5n+1 diverge.

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