Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente analisando a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série é alternada porque tem o termo , o que faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa. O próximo passo é olhar para a parte que fica sem o sinal alternado, que aqui é , e chamar isso de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos diminuem de valor conforme aumenta.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição. Precisamos ver se está diminuindo conforme aumenta. Observando a fração, conforme cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas o denominador cresce mais rápido porque tem um 5 na frente de . Isso sugere que diminui.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição. Calculamos o limite de quando vai para o infinito:
O limite não é zero, então a segunda condição do teste não é atendida.

Resposta

Como o limite dos termos da série não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série diverge.

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