Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente analisando a convergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série é alternada porque tem o termo
, o que faz os sinais dos termos mudarem de positivo para negativo e vice-versa. O próximo passo é olhar para a parte que fica sem o sinal alternado, que aqui é
, e chamar isso de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
diminuem de valor conforme aumenta. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição. Precisamos ver se
está diminuindo conforme
aumenta. Observando a fração, conforme
cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas o denominador cresce mais rápido porque tem um 5 na frente de
. Isso sugere que
diminui.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição. Calculamos o limite de
quando
vai para o infinito:
O limite não é zero, então a segunda condição do teste não é atendida.
Resposta
Como o limite dos termos da série não é zero, pelo Teste da Série Alternada, a série
diverge.
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Evaluate
where
is the region in the first quadrant bounded by
, and
Determine whether the following statement is TRUE or FALSE. Justify your answer.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
Find the volume of the solid outside the double cone
and inside the sphere
Teste a série quanto a convergência ou divergência.