Seja A ⊆ N. Construa uma função injetiva f: A -> N e uma função sobrejetiva g: N -> A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir duas funções envolvendo conjuntos de números naturais. Mais especificamente:
  • Função Injetiva ( f: A -> N): Cada elemento de A deve ser mapeado para um número natural de forma que não haja dois elementos diferentes de A que apontem para o mesmo número natural.
  • Função Sobrejetiva ( g: N -> A): Cada número natural deve ser mapeado para um elemento de A de modo que todo elemento de A seja atingido por pelo menos um número natural.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções injetivas e sobrejetivas e como podemos construir essas funções de maneira simples.

Passo 2

Primeiro, vamos construir uma função injetiva f: A -> N.
O que é uma função injetiva?
É uma função onde elementos diferentes do domínio ( A, no caso) são mapeados para elementos diferentes do contradomínio ( N). Em outras palavras, não há “colisão” de valores.
Como fazer isso?
Uma maneira simples de garantir isso é fazer com que cada elemento de A seja mapeado para si mesmo. Assim, se A é um subconjunto de N, podemos definir:
Por que isso é injetivo?
Porque se , então . Portanto, nenhum valor se repete.

Passo 3

Agora, vamos construir uma função sobrejetiva g: N -> A.
O que é uma função sobrejetiva?
É uma função onde todo elemento do contradomínio ( A, no caso) é atingido por pelo menos um elemento do domínio ( N). Ou seja, não sobra nenhum elemento em A que não seja alcançado por g.
Como fazer isso?
Aqui, a estratégia é “repetir” os elementos de A de forma que, independente de qual número natural você escolha, ele sempre corresponda a algum elemento de A.
Uma maneira comum de fazer isso é usando a função modular. Vamos supor que A seja finito com k elementos. Se A for infinito, podemos ajustar a função de forma apropriada. Mas para simplificar, vamos considerar que A é finito.
Se , então podemos definir:
Explicação:
  • O operador calcula o resto da divisão de por n.
  • Somando 1, garantimos que o índice comece em 1 e vá até k.
  • Assim, cada número natural k será mapeado ciclicamente para um dos elementos de n.
Por que isso é sobrejetivo?
Porque, para cada A, sempre existe um número natural tal que n. Na verdade, há infinitos que apontam para cada n.

Resposta

Construímos as funções da seguinte forma:
  • Função Injetiva:
  • Função Sobrejetiva:
(sendo )

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