Seja . Construa uma função injetiva e uma função sobrejetiva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir duas funções envolvendo conjuntos de números naturais. Mais especificamente:
  • Função Injetiva ( ): Cada elemento de deve ser mapeado para um número natural de forma que não haja dois elementos diferentes de que apontem para o mesmo número natural.
  • Função Sobrejetiva ( ): Cada número natural deve ser mapeado para um elemento de de modo que todo elemento de seja atingido por pelo menos um número natural.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções injetivas e sobrejetivas e como podemos construir essas funções de maneira simples.

Passo 2

Primeiro, vamos construir uma função injetiva .
O que é uma função injetiva?
É uma função onde elementos diferentes do domínio ( , no caso) são mapeados para elementos diferentes do contradomínio ( ). Em outras palavras, não há “colisão” de valores.
Como fazer isso?
Uma maneira simples de garantir isso é fazer com que cada elemento de seja mapeado para si mesmo. Assim, se é um subconjunto de , podemos definir:
Por que isso é injetivo?
Porque se , então . Portanto, nenhum valor se repete.

Passo 3

Agora, vamos construir uma função sobrejetiva .
O que é uma função sobrejetiva?
É uma função onde todo elemento do contradomínio ( , no caso) é atingido por pelo menos um elemento do domínio ( ). Ou seja, não sobra nenhum elemento em que não seja alcançado por .
Como fazer isso?
Aqui, a estratégia é “repetir” os elementos de de forma que, independente de qual número natural você escolha, ele sempre corresponda a algum elemento de .
Uma maneira comum de fazer isso é usando a função modular. Vamos supor que seja finito com elementos. Se for infinito, podemos ajustar a função de forma apropriada. Mas para simplificar, vamos considerar que é finito.
Se , então podemos definir:
Explicação:
  • O operador calcula o resto da divisão de por .
  • Somando 1, garantimos que o índice comece em 1 e vá até .
  • Assim, cada número natural será mapeado ciclicamente para um dos elementos de .
Por que isso é sobrejetivo?
Porque, para cada , sempre existe um número natural tal que . Na verdade, há infinitos que apontam para cada .

Resposta

Construímos as funções da seguinte forma:
  • Função Injetiva:
  • Função Sobrejetiva:
(sendo )

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Sejam e dois conjuntos finitos de e elementos respectivamente. Se tem elementos, mostre que tem elementos.
Determine whether the following statement is TRUE or FALSE. Justify your answer.
The expression

can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
Evaluate
where is the region in the first quadrant bounded by , and