Seja
. Construa uma função injetiva
e uma função sobrejetiva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir duas funções envolvendo conjuntos de números naturais. Mais especificamente:
-
Função Injetiva (
): Cada elemento de deve ser mapeado para um número natural de forma que não haja dois elementos diferentes de que apontem para o mesmo número natural. -
Função Sobrejetiva (
): Cada número natural deve ser mapeado para um elemento de de modo que todo elemento de seja atingido por pelo menos um número natural.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções injetivas e sobrejetivas e como podemos construir essas funções de maneira simples.
Passo 2
Primeiro, vamos construir uma função injetiva
.
O que é uma função injetiva?
É uma função onde elementos diferentes do domínio ( , no caso) são mapeados para elementos diferentes do contradomínio (
). Em outras palavras, não há “colisão” de valores.
É uma função onde elementos diferentes do domínio (
Como fazer isso?
Uma maneira simples de garantir isso é fazer com que cada elemento de seja mapeado para si mesmo. Assim, se
é um subconjunto de
, podemos definir:
Uma maneira simples de garantir isso é fazer com que cada elemento de
Por que isso é injetivo?
Porque se , então
. Portanto, nenhum valor se repete.
Porque se
Passo 3
Agora, vamos construir uma função sobrejetiva
.
O que é uma função sobrejetiva?
É uma função onde todo elemento do contradomínio ( , no caso) é atingido por pelo menos um elemento do domínio (
). Ou seja, não sobra nenhum elemento em
que não seja alcançado por
.
É uma função onde todo elemento do contradomínio (
Como fazer isso?
Aqui, a estratégia é “repetir” os elementos de de forma que, independente de qual número natural você escolha, ele sempre corresponda a algum elemento de
.
Aqui, a estratégia é “repetir” os elementos de
Uma maneira comum de fazer isso é usando a função modular. Vamos supor que
seja finito com
elementos. Se
for infinito, podemos ajustar a função de forma apropriada. Mas para simplificar, vamos considerar que
é finito.
Se
, então podemos definir:
Explicação:
- O operador calcula o resto da divisão de
por . - Somando 1, garantimos que o índice comece em 1 e vá até
. - Assim, cada número natural
será mapeado ciclicamente para um dos elementos de .
Por que isso é sobrejetivo?
Porque, para cada , sempre existe um número natural
tal que
. Na verdade, há infinitos
que apontam para cada
.
Porque, para cada
Resposta
Construímos as funções da seguinte forma:
- Função Injetiva:
- Função Sobrejetiva:
(sendo
)
Exercícios relacionados
Mostre que a união enumerável de conjuntos finitos é contável. Dê um exemplo em que essa união é um conjunto finito e outro na qual é um conjunto enumerável.
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos respectivamente. Se
tem
elementos, mostre que
tem
elementos.
Determine whether the following statement is TRUE or FALSE. Justify your answer.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
The expression
can be written as a single iterated integral in polar coordinates.
Evaluate
where
is the region in the first quadrant bounded by
, and