where is the region in the first quadrant bounded by , and
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
onde é uma região no primeiro quadrante limitada pelas curvas , , e .
Vamos usar conceitos de cálculo integral e mudança de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região :
As equações e são hipérboles.
As equações e são elipses.
Como estamos no primeiro quadrante, todas as coordenadas e são positivas.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis. Observando as equações das hipérboles e elipses, vamos definir:
Essa transformação vai simplificar os limites da integrais, já que as fronteiras da região ficam mais simples em termos de e .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e .
Primeiro, expressamos e em termos de e :
A partir das equações:
Podemos resolver para e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Mas para simplificar, vamos calcular o Jacobiano diretamente.
Passo 5
Calculando o Jacobiano :
Calculando as derivadas parciais:
J = (2x)(2y) - ( -2y cdot x2 ) = 4xy + xy = 5xy
Então,
Portanto, .
Passo 6
Agora, precisamos expressar a integral original em termos de integral duplaD x yy^2-x^2 , dA = integral duplaD' x yy^2-x^2 cdot |J|1 , du , dv e x yy^2-x^2 cdot 5xy = 5x^2y^2y^2-x^2 = 5x^2y^2-(x^2-y^2) = -5x^2y^2u .
A integral fica:
Substituindo e simplificando:
Mas para simplificar ainda mais, vamos ajustar as expressões e os limites de integração.
Passo 7
Os novos limites de integração em termos de integral duplaD' -5x^2y^2u cdot 15xy , du , dv = integral duplaD' -x yu , du , dv e - integral duplaD' x yu , du , dv são:
Para :
De até .
Para :
De até (baseado nas equações das elipses).
Então, a integral se torna:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, substituímos u = x^2 - y^2 v = x^24 + y^2 e u + v = x^2 - y^2 + x^24 + y^2 = 5x^24 Rightarrow x^2 = 4(u + v)5 em termos de v = 4(u + v)54 + y^2 = u + v5 + y^2 Rightarrow y^2 = v - u + v5 = 4v - u5 e x = raiz4(u + v)5 y = raiz4v - u5 .
A partir das definições:
Resolvendo para e :
Somando as equações:
Substituindo na segunda equação:
Portanto:
Passo 9
Substituindo - integral duplaD' raiz4(u + v)5 cdot raiz4v - u5u , du , dv e - integral duplaD' raiz16(u + v)(v) - 4u v25u , du , dv = - integral duplaD' raiz16v(u + v) - 4u v25u , du , dv na integral:
Simplificando as raízes:
Simplificando mais:
Observando que está ficando complicado, vamos reconsiderar nossa abordagem e tentar uma substituição mais adequada.
Passo 10
Vamos simplificar a integral usando a substituição integral duplaD x yy^2-x^2 , dA = integral duplaD -x yx^2-y^2 , dA = -integral duplaD x yu , dA e - integral duplaD' x yu cdot 15xy , du , dv = - 15 integral duplaD' 1u , du , dv com o Jacobiano .
A integral original era:
Substituindo :
Passo 11
Agora, nossa integral ficou bem mais simples:
- 15 integral duplaD' 1u , du , dv
Os limites de integração são:
- 15 integralu=1^4 integralv=1^4 1u , dv , du varia de 1 a 4.
varia de 1 a 4.
Então, a integral se torna:
Passo 12
Integrando primeiro em relação a integralv=1^4 1u , dv = 1u cdot (4 - 1) = 3u :
- 15 integralu=1^4 3u , du = - 35 integral1^4 1u , du
Então, a integral fica:
Passo 13
Agora, integramos em relação a integral1^4 1u , du = ln|u| |1^4 = ln 4 - ln 1 = ln 4 :