Mostre que se f(x) é uma função par (ímpar) então f’(x) é ímpar (par).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se $ f(x) $ é uma função par ou ímpar, então sua derivada $ f’(x) $ terá o comportamento oposto: se $ f(x) $ for par, $ f’(x) $ será ímpar, e se $ f(x) $ for ímpar, $ f’(x) $ será par. Para resolver isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar. Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $. Exemplo: $ f(x) = x^2 $. Já uma função é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $. Exemplo: $ f(x) = x^3 $.

Passo 3

Agora, vamos derivar essas funções e ver o que acontece. A derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) $, que nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 4

Vamos primeiro supor que $ f(x) $ é uma função par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $. Vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $:
f(x)
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
f(-x) = f(x)
Logo:
x
Isso mostra que $ f’(x) $ é ímpar.

Passo 5

Agora, vamos supor que $ f(x) $ é uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. Derivando ambos os lados:
f(x)
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra da derivada no lado direito:
f(-x) = -f(x)
Simplificando:
ddxf(-x) = ddx[-f(x)]
Isso mostra que $ f’(x) $ é par.

Resposta

Portanto, demonstramos que se $ f(x) $ é uma função par, então $ f’(x) $ é ímpar, e se $ f(x) $ é uma função ímpar, então $ f’(x) $ é par.

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