Mostre que se f(x) é uma função par (ímpar) então f’(x) é ímpar (par).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se $ f(x) $ é uma função par ou ímpar, então sua derivada $ f’(x) $ terá o comportamento oposto: se $ f(x) $ for par, $ f’(x) $ será ímpar, e se $ f(x) $ for ímpar, $ f’(x) $ será par. Para resolver isso, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares e como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar. Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $ para todo $ x $. Exemplo: $ f(x) = x^2 $. Já uma função é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $. Exemplo: $ f(x) = x^3 $.
Passo 3
Agora, vamos derivar essas funções e ver o que acontece. A derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) $, que nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 4
Vamos primeiro supor que $ f(x) $ é uma função par, ou seja, $ f(-x) = f(x) $. Vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $:
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Logo:
Isso mostra que $ f’(x) $ é ímpar.
Passo 5
Agora, vamos supor que $ f(x) $ é uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. Derivando ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra da derivada no lado direito:
Simplificando:
Isso mostra que $ f’(x) $ é par.
Resposta
Portanto, demonstramos que se $ f(x) $ é uma função par, então $ f’(x) $ é ímpar, e se $ f(x) $ é uma função ímpar, então $ f’(x) $ é par.