Determine x ∈ R e y e R para que se tenha: (x + y i)² = 2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve números complexos! A gente precisa encontrar dois números reais, e , que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de números complexos. Se temos e , o produto deles é:
No nosso caso, queremos calcular . Então, vamos aplicar essa fórmula:

Passo 3

Agora, igualamos isso ao lado direito da equação, que é . Então, temos:
Isso significa que as partes reais e imaginárias devem ser iguais separadamente. Ou seja:
á

Passo 4

Vamos resolver essas duas equações. Começando pela parte real:
Agora, pela parte imaginária:

Passo 5

Vamos considerar as duas possibilidades da parte real:
Caso 1:
Substituindo na equação :
Então, temos duas soluções:
Caso 2:
Substituindo na equação :
Mas aqui chegamos a um problema: não pode ser negativo se é um número real. Então, esse caso não tem solução real.

Resposta

As soluções reais são e , ou e .

Exercícios relacionados