Qual o resultado da simplificação de: (2+i)^{101} * (2-i)^{50} / ((-2-i)^{100} * (i-2)^{49})

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão:
Estamos trabalhando com números complexos e suas potências. Para simplificar essa expressão, vamos precisar usar propriedades de números complexos, como a forma trigonométrica e as regras de potência para números na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da expressão observando que . Portanto, podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Agora, vamos lidar com os sinais negativos. Observamos que porque qualquer número elevado a uma potência ímpar mantém o sinal negativo.
Substituindo na expressão:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Observamos que dividido por é igual a .
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos expressar cada número complexo na forma trigonométrica para facilitar o cálculo das potências. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de cada número:
Para :
Para :
Então, aplicando a propriedade das potências:
Onde .

Passo 6

Agora, percebemos que e vão anular as partes imaginárias devido à simetria dos ângulos múltiplos de . Após simplificar todas as potências e realizar as multiplicações, concluímos que a expressão toda se reduz a um número real.

Resposta

O resultado da simplificação é .

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