Qual o resultado da simplificação de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa expressão:
Estamos trabalhando com números complexos e suas potências. Para simplificar essa expressão, vamos precisar usar propriedades de números complexos, como a forma trigonométrica e as regras de potência para números na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da expressão observando que
. Portanto, podemos reescrever a expressão como:
Passo 3
Agora, vamos lidar com os sinais negativos. Observamos que
porque qualquer número elevado a uma potência ímpar mantém o sinal negativo.
Substituindo na expressão:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais. Observamos que
dividido por
é igual a
.
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos expressar cada número complexo na forma trigonométrica para facilitar o cálculo das potências. Primeiro, encontramos o módulo e o argumento de cada número:
Para
:
Para
:
Então, aplicando a propriedade das potências:
Onde
.
Passo 6
Agora, percebemos que
e
vão anular as partes imaginárias devido à simetria dos ângulos múltiplos de
. Após simplificar todas as potências e realizar as multiplicações, concluímos que a expressão toda se reduz a um número real.
Resposta
O resultado da simplificação é
.
Exercícios relacionados
Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos:
Calcule as seguintes potências de
:
Determine
e
para que se tenha:
Calcule o módulo dos seguintes números: