Escrevendo o complexo , calcule os valores do módulo e do argumento.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o módulo e o argumento do número complexo . Isso envolve conhecimentos de números complexos, especialmente sobre como simplificar uma fração envolvendo complexos e calcular seu módulo e argumento.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar a expressão de . Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo é . Essa técnica ajuda a eliminar a parte imaginária do denominador.

Passo 3

O conjugado de é . Então, multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:

Passo 4

Calculando o denominador:

Passo 5

Agora, calculamos o numerador:
Lembrando que :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Agora, temos , onde:

Passo 7

Para encontrar o módulo de , usamos a fórmula:
Substituindo os valores de e :

Passo 8

Calculando os quadrados:
Somando os dois:

Passo 9

Agora, vamos encontrar o argumento de . A fórmula para o argumento é:
Substituindo e :
Simplificando a fração:
Sabemos que radianos.

Resposta

O módulo de é e o argumento é radianos.

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