Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um conjunto de vetores , , e . Nosso objetivo é verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se forem, usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou verificamos o posto dessa matriz.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
ã
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser trabalhoso, mas se o determinante for zero, sabemos que são dependentes. Supondo que o determinante seja não nulo, prosseguimos.
Passo 5
Assumindo que os vetores são linearmente independentes, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal.
Passo 6
Primeiro, vamos chamar os vetores originais de :
Passo 7
Passo 1 do Gram-Schmidt: O primeiro vetor da base ortogonal é simplesmente normalizado.
Passo 8
Passo 2 do Gram-Schmidt: Subtraímos a projeção de sobre para obter :
Calculando:
Passo 9
Normalizamos para obter :
Passo 10
Repetimos o processo para e , subtraindo as projeções sobre e e normalizando os vetores resultantes.
Passo 11
Após realizar todos os cálculos, obteremos uma base ortonormal composta por , onde cada vetor tem comprimento 1 e é perpendicular aos demais.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes e, após a aplicação do processo de Gram-Schmidt, obtemos uma base ortonormal para o conjunto.