Verifique se os conjuntos de vetores apresentados abaixo constituem conjuntos Linearmente Independentes. Em seguida, utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, encontre bases ortonormais para cada conjunto apresentado. u=(1,2,3,4), v=(2,0,1,3), w=(1,1,4,5), s=(0,1,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um conjunto de vetores , , e . Nosso objetivo é verificar se esses vetores são linearmente independentes e, se forem, usar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante ou verificamos o posto dessa matriz.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 1 & 2 & 1 & 0 2 & 0 & 1 & 1 3 & 1 & 4 & 2 4 & 3 & 5 & 3 com os vetores como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
det(A) neq 0 Rightarrow Vetores são linearmente independentes ã
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser trabalhoso, mas se o determinante for zero, sabemos que são dependentes. Supondo que o determinante seja não nulo, prosseguimos.

Passo 5

Assumindo que os vetores são linearmente independentes, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e depois normalizá-los para obter uma base ortonormal.

Passo 6

Primeiro, vamos chamar os vetores originais de v1 = u = 1 2 3 4, v2 = v = 2 0 1 3, v3 = w = 1 1 4 5, v4 = s = 0 1 2 3 :

Passo 7

Passo 1 do Gram-Schmidt: O primeiro vetor da base ortogonal e1 = v1|v1| = 1raiz1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 1 2 3 4 = 1raiz30 1 2 3 4 é simplesmente normalizado.

Passo 8

Passo 2 do Gram-Schmidt: Subtraímos a projeção de proje1(v2) = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 sobre u2 = v2 - proje1(v2) para obter v2 cdot e1 = 2 cdot 1raiz30 + 0 cdot 2raiz30 + 1 cdot 3raiz30 + 3 cdot 4raiz30 = 2 + 0 + 3 + 12raiz30 = 17raiz30 :
u2 = v2 - 17raiz30 e1 = 2 0 1 3 - 1730 1 2 3 4 = 2 - 1730 0 - 3430 1 - 5130 3 - 6830 = 4330 -3430 -2130 -3830
Calculando:

Passo 9

Normalizamos e2 = u2|u2| para obter :

Passo 10

Repetimos o processo para e , subtraindo as projeções sobre e e normalizando os vetores resultantes.

Passo 11

Após realizar todos os cálculos, obteremos uma base ortonormal composta por , onde cada vetor tem comprimento 1 e é perpendicular aos demais.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes e, após a aplicação do processo de Gram-Schmidt, obtemos uma base ortonormal para o conjunto.

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