Verifique se todo grupo de ordem 5 é cíclico.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para gente verificar se todo grupo de ordem 5 é cíclico. Isso está dentro do estudo de grupos na álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar entender o que é um grupo cíclico e usar algumas propriedades de grupos cuja ordem (o número de elementos) é um número primo.

Passo 2

Primeiro, o que é um grupo cíclico? É um grupo onde existe um elemento que, quando combinamos ele com ele mesmo várias vezes, conseguimos chegar a todos os elementos do grupo. Esse elemento é chamado de gerador do grupo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que 5 é um número primo. Existe uma propriedade importante na teoria dos grupos que diz que todo grupo de ordem p, onde p é primo, é necessariamente cíclico. Isso significa que qualquer grupo com exatamente 5 elementos vai ter um gerador que cria todo o grupo.

Passo 4

Vamos detalhar isso: suponha que temos um grupo G com 5 elementos. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de qualquer elemento (ou seja, o menor número de vezes que você precisa combinar o elemento consigo mesmo para voltar à identidade) deve dividir a ordem do grupo. Como 5 é primo, as únicas ordens possíveis s��o 1 (a identidade) e 5. Portanto, qualquer elemento que não seja a identidade tem ordem 5 e, portanto, gera todo o grupo. Isso confirma que G é cíclico.

Resposta

Sim, todo grupo de ordem 5 é cíclico.

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,
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