Determine
, com
, que maximiza a soma
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar os valores de
e
que satisfazem a condição
e que maximizam a soma
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com otimização linear dentro de uma região circular.
Passo 2
Primeiro, observamos que a condição
representa um círculo com raio 2 centrado na origem (0,0) do plano cartesiano. Queremos maximizar a expressão
dentro ou na borda desse círculo.
Passo 3
A expressão
pode ser vista como o produto escalar entre o vetor
e o vetor
. Para maximizar esse produto escalar, queremos que o vetor
esteja na mesma direção que
e tenha o maior comprimento possível dentro do círculo, ou seja, com comprimento 2.
Passo 4
Vamos encontrar um ponto
na borda do círculo que esteja na direção de
. Para isso, normalizamos o vetor
:
Portanto, o vetor já tem comprimento 2 e, assim, o ponto que queremos é exatamente
.
Resposta
O par
que maximiza a soma
dentro da condição dada é
.
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, and
. Evaluate one of the integrals.