Determine (x, y), com x^2 + y^2 <= 4, que maximiza a soma raiz(3) x + y.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar os valores de e que satisfazem a condição e que maximizam a soma . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com otimização linear dentro de uma região circular.

Passo 2

Primeiro, observamos que a condição representa um círculo com raio 2 centrado na origem (0,0) do plano cartesiano. Queremos maximizar a expressão dentro ou na borda desse círculo.

Passo 3

A expressão pode ser vista como o produto escalar entre o vetor e o vetor . Para maximizar esse produto escalar, queremos que o vetor esteja na mesma direção que e tenha o maior comprimento possível dentro do círculo, ou seja, com comprimento 2.

Passo 4

Vamos encontrar um ponto na borda do círculo que esteja na direção de . Para isso, normalizamos o vetor :
Portanto, o vetor já tem comprimento 2 e, assim, o ponto que queremos é exatamente .

Resposta

O par que maximiza a soma dentro da condição dada é .

Exercícios relacionados

Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^3 * y + 3 * x + y
A temperatura T em graus Celsius em cada ponto da região x^2 + y^2 <= 1 é dada por T(x, y) 16x^2 + 24x + 40y^2. Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral cos (3 x+1) d x
Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes x=1, y=2, and z = 3. Evaluate one of the integrals.