Determine (x, y), com x^2 + y^2 <= 4, que maximiza a soma raiz(3) x + y.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar os valores de e que satisfazem a condição e que maximizam a soma . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com otimização linear dentro de uma região circular.

Passo 2

Primeiro, observamos que a condição representa um círculo com raio 2 centrado na origem (0,0) do plano cartesiano. Queremos maximizar a expressão dentro ou na borda desse círculo.

Passo 3

A expressão pode ser vista como o produto escalar entre o vetor e o vetor . Para maximizar esse produto escalar, queremos que o vetor esteja na mesma direção que e tenha o maior comprimento possível dentro do círculo, ou seja, com comprimento 2.

Passo 4

Vamos encontrar um ponto na borda do círculo que esteja na direção de . Para isso, normalizamos o vetor :
Portanto, o vetor já tem comprimento 2 e, assim, o ponto que queremos é exatamente .

Resposta

O par que maximiza a soma dentro da condição dada é .

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