Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes , and . Evaluate one of the integrals.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre volumes usando integrais triplas! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse paralelepípedo é limitado pelos planos coordenados (, , ) e pelos planos , e . Vamos usar o conceito de integrais triplas da matéria de cálculo multivariável para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular volumes (e outras coisas) em espaços tridimensionais. A ideia é somar infinitesimalmente pedaços de volume dentro do nosso paralelepípedo.
Passo 3
Existem seis maneiras diferentes de escrever a integral tripla, dependendo da ordem em que integramos em relação a , e . Essas ordens são:
Cada uma dessas ordens muda os limites de integração para cada variável.
Passo 4
Vamos escrever as seis integrais triplas para o volume:
Integral em ordem :
Integral em ordem :
Integral em ordem :
Integral em ordem :
Integral em ordem :
Integral em ordem :
Passo 5
Vamos escolher uma dessas integrais para calcular o volume. Vamos pegar a primeira: .