Volume of rectangular solid Write six different iterated triple integrals for the volume of the rectangular solid in the first octant bounded by the coordinate planes and the planes x=1, y=2, and z = 3. Evaluate one of the integrals.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre volumes usando integrais triplas! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas são positivas. Esse paralelepípedo é limitado pelos planos coordenados ( , , ) e pelos planos , e . Vamos usar o conceito de integrais triplas da matéria de cálculo multivariável para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular volumes (e outras coisas) em espaços tridimensionais. A ideia é somar infinitesimalmente pedaços de volume dentro do nosso paralelepípedo.

Passo 3

Existem seis maneiras diferentes de escrever a integral tripla, dependendo da ordem em que integramos em relação a , e . Essas ordens são:
Cada uma dessas ordens muda os limites de integração para cada variável.

Passo 4

Vamos escrever as seis integrais triplas para o volume:
  1. Integral em ordem :
  1. Integral em ordem :
  1. Integral em ordem :
  1. Integral em ordem :
  1. Integral em ordem :
  1. Integral em ordem :

Passo 5

Vamos escolher uma dessas integrais para calcular o volume. Vamos pegar a primeira: .
Primeiro integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Por último, integramos em relação a :

Resposta

O volume do paralelepípedo é 6 unidades cúbicas.

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Volume inside paraboloid beneath a plane Let D be the region bounded by the paraboloid z = x^2 + y^2 and the plane z = 2 y. Write triple iterated integrals in the order dz/dx/dy and dz dy dx that give the volume of D. Do not evaluate either integral.