Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (-2 x^3 + 3 x^2 + 8 x - 12) / (x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional, que é aquela que é divisão de dois polinômios. O exercício pede pra gente esboçar o gráfico dessa função, descobrir qual é o maior domínio possível (ou seja, todos os valores de f(x) = (-2 x^3 + 3 x^2 + 8 x - 12) / (x^2 - 4) que a função consegue assumir) e também a imagem (todos os valores de que a função pode produzir). A função que vamos trabalhar é:
Vamos precisar entender de polinômios, funções racionais, assíntotas e como analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não dá certo. Então, vamos resolver:
Isso é uma diferença de quadrados, que se fatorada fica:
Então, e . Portanto, o domínio é todos os reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função se possível. Olhando para o numerador, temos um polinômio de terceiro grau:
Vamos tentar fatorar esse polinômio. Vamos usar o teorema do fator: se é raiz, onde divide o termo constante e divide o líder.
Testando :
Então, é uma raiz. Portanto, é um fator.
Vamos dividir o polinômio por usando divisão sintética:
Então, o polinômio fatorado é:
Agora, vamos fatorar . Podemos fatorar tirando o sinal:
Agora, fatorando :
Encontramos dois números que multiplicam e somam . Esses números são e , então:
Portanto, o numerador fica:
Simplificando com o denominador , podemos cancelar e :
Mas lembre-se que e mesmo após o cancelamento.

Passo 4

Agora que simplificamos, a função basicamente é uma reta , mas com as restrições de e . Isso significa que no gráfico, vão faltar dois pontos: quando e . Esses pontos podem ser assíntotas verticais ou simplesmente buracos no gráfico.

Passo 5

Vamos identificar as assíntotas verticais. No denominador original, as raízes eram e . Como ao simplificar a função essas raízes foram canceladas, isso indica que são buracos (pontos removidos) e não assíntotas verticais. Se não houvesse cancelamento, teríamos assíntotas verticais nesses valores de .

Passo 6

Também devemos verificar a assíntota horizontal ou o comportamento da função para indo ao infinito. Como a função simplificada é uma reta, não tem assíntota horizontal; ela simplesmente continua aumentando ou diminuindo sem se aproximar de nenhum valor específico. No caso, como o coeficiente de é , a função decresce linearmente.

Passo 7

Vamos encontrar os interceptos. Primeiro, o intercepto é quando :
Então, o intercepto é .
O intercepto é quando :
Então, o intercepto é .

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico. A função é uma reta decrescente com intercepto em e , mas com buracos nos pontos e . Esses buracos são indicados no gráfico como círculos vazados.

Passo 9

Por fim, vamos determinar a imagem da função. Como é uma reta que cobre todos os valores reais, exceto nos pontos onde faltam correspondentes a e . Porém, como a função simplificada cobre todos os exceto possivelmente dois valores específicos, a imagem é todos os reais.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Esboço do Gráfico: Uma reta decrescente com interceptos em e , apresentando buracos nos pontos e .

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